http://www.math.hut.fi/teaching/p3/luentomateriaali/G-J.html
[Up]

Gauss-Jordan

Gauss-Jordan, KRE s. 366, Example 1 (käänteismatriisin yhteydessä)
(GREE esim. kts. s. 13 )

Maplessa matriisioperaatioita varten ladataan paketti linalg Tarvittavat Maple-komennot: 

   matrix, vector, augment, addrow, mulrow,
   gaussjord (relevantti myös gausselim)

> with(linalg):

Matriisi voidaan muodostaa matrix-komennolla vaakarivien (listojen) listana
( tai muodossa matrix(4,6,[1,-1,....,-2,1]); )

> A:=matrix([[1,-1,1,0,0,2],[1,1,2,4,1,2],[0,2,1,4,3,1],[1,-3,0,-4,-2,1]]);

                               [ 1  -1  1   0   0  2 ]
                               [                     ]
                               [ 1   1  2   4   1  2 ]
                          A := [                     ]
                               [ 0   2  1   4   3  1 ]
                               [                     ]
                               [ 1  -3  0  -4  -2  1 ]

> b:=vector([0,3,2,0]);

                               b := [ 0, 3, 2, 0 ]
Komennolla augment liitetään sarakevektori matriisin perään. Näin saadaan "augmented matrix", vrt. KRE s. 345. 
 
> Ab:=augment(A,b);

                              [ 1  -1  1   0   0  2  0 ]
                              [                        ]
                              [ 1   1  2   4   1  2  3 ]
                        Ab := [                        ]
                              [ 0   2  1   4   3  1  2 ]
                              [                        ]
                              [ 1  -3  0  -4  -2  1  0 ]
Komento addrow(M,r1,r2,c) palauttaa matriisin, jossa M:n rivi r2 on korvattu vektorilla c*row(M,r1) + row(M,r2)

1. sarake: 

> Ab:=addrow(Ab,1,2,-1);  # muutettava_rivi_no=2, kerroin = -1
                          # kerrottava ja yhteenlaskettava rivi_no=1 

                              [ 1  -1  1   0   0  2  0 ]
                              [                        ]
                              [ 0   2  1   4   1  0  3 ]
                        Ab := [                        ]
                              [ 0   2  1   4   3  1  2 ]
                              [                        ]
                              [ 1  -3  0  -4  -2  1  0 ]

> Ab:=addrow(Ab,1,4,-1); # muutettava_rivi_no=4, kerroin = -1
                         # kerrottava ja yhteenlaskettava rivi_no=1

                             [ 1  -1   1   0   0   2  0 ]
                             [                          ]
                             [ 0   2   1   4   1   0  3 ]
                       Ab := [                          ]
                             [ 0   2   1   4   3   1  2 ]
                             [                          ]
                             [ 0  -2  -1  -4  -2  -1  0 ]

2. sarake: 


> Ab:=addrow(Ab,2,3,-1);  # muutettava_rivi_no=3, kerroin = -1
                          # kerrottava ja yhteenlaskettava rivi_no=2

                             [ 1  -1   1   0   0   2   0 ]
                             [                           ]
                             [ 0   2   1   4   1   0   3 ]
                       Ab := [                           ]
                             [ 0   0   0   0   2   1  -1 ]
                             [                           ]
                             [ 0  -2  -1  -4  -2  -1   0 ]

> Ab:=addrow(Ab,2,4,1);

                              [ 1  -1  1  0   0   2   0 ]
                              [                         ]
                              [ 0   2  1  4   1   0   3 ]
                        Ab := [                         ]
                              [ 0   0  0  0   2   1  -1 ]
                              [                         ]
                              [ 0   0  0  0  -1  -1   3 ]

5. sarake: 

> Ab:=addrow(Ab,3,4,1/2);

                             [ 1  -1  1  0  0    2    0  ]
                             [                           ]
                             [ 0   2  1  4  1    0    3  ]
                       Ab := [                           ]
                             [ 0   0  0  0  2    1    -1 ]
                             [                           ]
                             [ 0   0  0  0  0  -1/2  5/2 ]
Nyt olemme saaneet Gaussin eliminaation suoritetuksi. Ratkaisu voidaan lukea suoraan: Alimmasta saadaan x6, toiseksi alimmasta x5.
Toisessa yhtälössä on kaksi "ylimääräistä vaakaporrasta", x4 ja x3 voidaan siksi valita vapaiksi parametreiksi ja ratkaista toisesta yhtälöstä x2. Ensimmäisestä saadaan x1

Takaisinsijoitus rivioperaatioilla, Gauss-Jordan

Suoritamme yllä olevat vaiheet samanlaisilla rivioperaatioilla, jotka nyt etenevät alhaalta ylös.

Ensin normeeraus 

> Ab:=mulrow(Ab,4,-2);  # Rivi_no 4 kerrotaan luvulla -2

                               [ 1  -1  1  0  0  2   0 ]
                               [                       ]
                               [ 0   2  1  4  1  0   3 ]
                         Ab := [                       ]
                               [ 0   0  0  0  2  1  -1 ]
                               [                       ]
                               [ 0   0  0  0  0  1  -5 ]

> Ab:=mulrow(Ab,3,1/2);

                             [ 1  -1  1  0  0   2     0  ]
                             [                           ]
                             [ 0   2  1  4  1   0     3  ]
                       Ab := [                           ]
                             [ 0   0  0  0  1  1/2  -1/2 ]
                             [                           ]
                             [ 0   0  0  0  0   1    -5  ]

> Ab:=mulrow(Ab,2,1/2);

                           [ 1  -1   1   0   0    2     0  ]
                           [                               ]
                           [ 0   1  1/2  2  1/2   0    3/2 ]
                     Ab := [                               ]
                           [ 0   0   0   0   1   1/2  -1/2 ]
                           [                               ]
                           [ 0   0   0   0   0    1    -5  ]

Aloitetaan rivioperaatiot

6. sarake: 

> Ab:=addrow(Ab,4,3,-1/2);

                            [ 1  -1   1   0   0   2   0  ]
                            [                            ]
                            [ 0   1  1/2  2  1/2  0  3/2 ]
                      Ab := [                            ]
                            [ 0   0   0   0   1   0   2  ]
                            [                            ]
                            [ 0   0   0   0   0   1   -5 ]

> Ab:=addrow(Ab,4,1,-2);

                            [ 1  -1   1   0   0   0   10 ]
                            [                            ]
                            [ 0   1  1/2  2  1/2  0  3/2 ]
                      Ab := [                            ]
                            [ 0   0   0   0   1   0   2  ]
                            [                            ]
                            [ 0   0   0   0   0   1   -5 ]

5. sarake: 

> Ab:=addrow(Ab,3,2,-1/2);

                             [ 1  -1   1   0  0  0   10 ]
                             [                          ]
                             [ 0   1  1/2  2  0  0  1/2 ]
                       Ab := [                          ]
                             [ 0   0   0   0  1  0   2  ]
                             [                          ]
                             [ 0   0   0   0  0  1   -5 ]

2. sarake: 

> Ab:=addrow(Ab,2,1,1);

                             [ 1  0  3/2  2  0  0  21/2 ]
                             [                          ]
                             [ 0  1  1/2  2  0  0   1/2 ]
                       Ab := [                          ]
                             [ 0  0   0   0  1  0    2  ]
                             [                          ]
                             [ 0  0   0   0  0  1   -5  ]
Nyt on redusoitu porrasmuoto valmis. Tarkistetaan viela 
> gaussjord(augment(A,b));  

                          [ 1  0  3/2  2  0  0  21/2 ]
                          [                          ]
                          [ 0  1  1/2  2  0  0   1/2 ]
                          [                          ]
                          [ 0  0   0   0  1  0    2  ]
                          [                          ]
                          [ 0  0   0   0  0  1   -5  ]
Kylla vaan!! 
######################################################################
# Lopuksi permutoidaan sarakkeet niin, että "johtavat sarakkeet"
# tulevat ensimmäisiksi, jolloin saadaan rakennne, jossa on
#           [I(4x4),P(4x2),b(4x1)]
# eli:
#
# [4x4-yksikkömatriisi, 2 "parametrisaraketta", oikea puoli (b-sarake)]

> submatrix(Ab,[1,2,3,4],[1,2,5,6,3,4,7]);

                          [ 1  0  0  0  3/2  2  21/2 ]
                          [                          ]
                          [ 0  1  0  0  1/2  2   1/2 ]
                          [                          ]
                          [ 0  0  1  0   0   0    2  ]
                          [                          ]
                          [ 0  0  0  1   0   0   -5  ]
This page created by <Heikki.Apiola@hut.fi>
Wed Aug 27 13:11:04 EET DST 1997