Teht. 5
=======
Euler

   y'=f(t,y)

y[n+1]=y[n]+h*f(t[n],y[n]).

Tässä: f(t,y)=y, joten y[n+1]=y[n]+h*y[n], eli y[n+1]=(1+h)*y[n]

=>   y[n]=(1+h)^n * y[0]
 

> n:=2:h:=1/n;seq((1+h)^k,k=0..n);evalf(");
                                   h := 1/2

                                  1, 3/2, 9/4

                         1., 1.500000000, 2.250000000

> n:=4:h:=1/n;seq((1+h)^k,k=0..n);evalf(");
                                   h := 1/4

                                     25  125  625
                             1, 5/4, --, ---, ---
                                     16  64   256

            1., 1.250000000, 1.562500000, 1.953125000, 2.441406250

> n:=8:h:=1/n;seq((1+h)^k,k=0..n);evalf(");
                                   h := 1/8

                    81  729  6561  59049  531441  4782969  43046721
            1, 9/8, --, ---, ----, -----, ------, -------, --------
                    64  512  4096  32768  262144  2097152  16777216

1., 1.125000000, 1.265625000, 1.423828125, 1.601806641, 1.802032471,

    2.027286530, 2.280697346, 2.565784514

---------------------------------

Tarkka ratk: y=exp(t).
Lasketaan erotukset pisteessä 1, eli e-yappr(1), 

 map(evalf,[exp(1)-2.250000000,exp(1)-2.441406250,exp(1)-2.565784514]);
                     [.468281828, .276875578, .152497314]

Nähdään, että askeleen puolittuessa virhe aika tarkkaan myös puolittuu, 
joka on "O(h)"-käyttäytymistä.