Jos alkuperäinen ongelma ei ratkea kannattaa valita
tutkittavaksi jokin yksinkertaisempi versio:
Jos linja-autossa on vain yksi henkilö jolla on valkoinen hattu niin
hän ei näe yhtään valkoista hattua ja kun kuljettaja sanoo,
että ''ainakin yhdellä
matkustajalla on valkoinen hattu'', hän ymmärtää,
että hänellä on sellainen ja astuu ulos seuraavalla pysäkillä.
Entä jos kahdella henkilöllä on valkoinen hattu?
Nyt kaikki tietävät että ''ainakin yhdellä matkustajalla on
valkoinen hattu'' joten kumpikaan valkohattuisista matkustajista
ei pysty suoraan päättelemään, että hänellä on valkoinen hattu
eikä astu ulos ensimmäisellä pysäkillä
mutta kun kuljettaja on tämän sanonut niin
kaikki myös tietävät, että kaikki tietävät, että ''ainakin
yhdellä matkustajalla on valkoinen hattu''. Eli ensimmäisen
pysäkin jälkeen molemmat matkustajat, joilla on valkoinen
hattu voivat päätellä, että toinen valkohattuinen myös näkee
valkoisen hatun eli heillä molemmilla täytyy olla valkoinen
hattu päässä ja siten astuvat ulos toisella pysäkillä.
[+]
Yleinen tapaus induktiolla:
Olkoon $P(n)$ väite: Jokainen matkustaja päättelee oikein, että
hän voi astua ulos
$n$:nnellä pysäkillä jos ja vain jos hän näkee $n-1$ valkoista
hattua kun tullaan tälle pysäkille.
Jos tämä väite pätee kaikilla $n\geq 1$ niin tästä seuraa,
että jos linja-autossa on $m$ matkustajaa joilla on
valkoinen hattu, he voivat kaikki astua ulos $m$:nnellä
pysäkillä.
- Edellä näimme, että väite
$P(1)$ (ja myös $P(2)$) on tosi.
- Oletamme, että väite $P(k)$ on tosi. Kun linja-auto
on tulossa $k+1$:lle pysäkille
niin jokainen matkustaja, joka näkee $k$ valkoista hattua tietää
induktio-oletuksen nojalla,
että nämä valkohattuiset matkustajat eivät ole nähneet
ainoastaan $k-1$ valkoista hattua ennen edellistä pysäkkiä
koska silloin he olisivat astuneet ulos ja näin ollen hänellä
itsellään täytyy olla valkoinen hattu ja hän astuu ulos
$k+1$:llä pysäkillä.
Induktio-oletuksen nojalla
linja-autossa ei voi olla $1,2,\ldots,k$ valkoista hattua
linja-autossa kun se on tulossa $k+1$:lle pysäkille koska silloin
valkohattuiset olisivat jo astuneet ulos. Mustahattuiset
näkevät siis joko vähintään $k+1$ valkoista hattua tai ei
yhtään tässä
vaiheessa joten jos joku ei näe $k$ valkoista hattua hän ei
voi päätellä että hänellä olisi valkoinen hattu ja hänen
pitäisi astua ulos linja-autosta.
- Induktioperiaatteen nojalla toteamme, että
$P(n)$ pätee kun $n\geq 1$.