Numeerisen analyysin ja laskennallisen tieteen seminaari

21.2.2005  klo 14.15  U322



Mika Juntunen, Matematiikan laitos
Kontaktiongelman ratkaiseminen elementtimenetelmällä

Työn lähtökohtana on kontaktiongelman esitys reuna-arvotehtävänä. Variaatioepäyhtälöt näytetään ekvivalentiksi esitykseksi kontaktiongelmalle ja variaatioesitykselle näytetään ratkaisun olemassaolo ja yksikäsitteisyys Lionsin ja Stampacchian lauseen avulla.

Kontaktiongelman numeerista ratkaisua haetaan elementtimenetelmällä. Variaatioesitys ei suoraan sovellu elementtimenetelmän lähtökohdaksi, joten reuna-arvotehtävälle johdetaan variaatioesitys sakkomenetelmällä ja Nitschen menetelmällä. Menetelmien ideana on siirtää kontaktin aiheuttamat rajoitukset ratkaisujoukosta variaatioyhtälöön.  Molemmat menetelmät osoitetaan elliptisiksi sopivilla oletuksilla, mutta vain Nitschen menetelmä osoittautuu konsistentiksi alkuperäisen alkuarvotehtävän kanssa.

Nitschen menetelmälle ja sakkomenetelmälle johdetaan sekä a priori että a posteriori virhearviot. Sakkomenetelmän sakkoparametrille näytetään ehto joka antaa parhaan a priori virhearvion kun ratkaisun sileys tunnetaan. Nitschen menetelmän a posteriori virhearvion johdossa käytetään saturaatio-oletusta, jonka avulla voidaan a posteriori virhearvion johdossa luopua Clément'n
interpolanteista koska interpolantteja tarvitaan vain diskreettien ratkaisujen välille.

Menetelmien ominaisuuksia ja virhearvioiden tarkkuutta testataan numeerisilla esimerkeillä. A priori virhearviota tarkastellaan laskemalla tarkkaa virhettä verkkoparametrin funktiona ja  a posteriori virhearviota testataan tihentämällä verkkoa adaptiivisesti virhearvion perusteella.