Luentomateriaalia Viikolla 37, Kompleksiluvut ja -funktiot

Kuvat ovat väreineen havainnollisempia kuin luentoprujussa.

Kirjallisuutta:

1. [KRE] Kreyszig: Advanced Engineering Mathematics, 8. painos Part D Complex Analysis, s. 651 - >
2. [Lop] Lopez: AEM
3. [AG] Kivelä: Algebra ja geometria 3. Kompleksiluvut s. 41 ->
4. [RA] Kivelä: Reaalimuuttujan analyysi Luku 5 ss. 72 - 75

Sisällysluettelo

Motivaatio

1. "Perustason tehtävät". Tällaisia ovat esim. vaihtovirtapiirilaskut sähköopissa, mekaaniset värähtelevät systeemit, Näihin riittävät kompleksilukujen perusominaisuudet, polaarimuoto, De Moivre'n kaava ym.

2. Vaativammat tehtävät, joissa tarvitaan analyyttisten ja harmonisten funktioiden ominaisuuksia. Monet virtausdynamiikan, lämpöopin ja sähköstatiikan tehtävät kuuluvat sovellutusten piirin.

3. Vaikka alkuperäinen tehtävä olisikin reaalialueella muotoiltu, voidaan ratkaisussa joutua kompleksialueelle (esim. ominaisarvotehtävät).

4. Monet käsitteet saadaan esitetyksi yhtenäisemmässä ja helpommassa muodossa (esim. Fourier-sarjat ja -muunnokset) ja moni puhtaasti reaalifunktioihin liittyvä ilmiö voidaan oikeasti "ymmärtää" vasta kompleksialueella tarkasteltuna.

1. Kompleksiluvun määritelmä, kompleksitaso

[KRE8] 12.1, 12.2 (osittain) 
[Lop] 35.1
[AG]

Kompleksilukujen nimi ja systemaattisen käyttöönotto on peräisin Gauss:lta. Noudatamme mm. kirjoissa [KRE] ja [AG] esiintyvää tyyliä.

Määritelmä. Kompleksiluku z=(x,y) on reaalilukupari. Kompleksilukujoukko on reaalilukuparien joukko R2 varustettuna seuraavilla laskutoimituksilla: Yhteenlaskulla: z1+z2= (x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2) Kertolaskulla: z1 z2 =(x1,y1)(x2,y2)= (x1 x2 - y1 y2,x1 y2 + x2 y1) Kompleksilukujoukolle käytetään merkintää C

Huom: Joukkona C on sama kuin R². Merkintä C viittaa siihen, että käytössä on myös yllä määritelty kertolasku.

Kompleksiluvun z=(x,y) x-koordinaattia sanotaan reaalioasaksi ja y-koordinaattia imaginaariosaksi, ja merkitään:

                x = Re z,  y = Im z

Kompleksilukujen kertolasku voidaan muistaa näin:

Tulon reaaliosa = ReRe - ImIm
Tulon imaginaariosa = ReIm + ImRe

       z=x+yi .

       i^2 = (0,1)(0,1)=(ReRe-ImIm,ReIm+ImRe)=(-1,0)=-1

Johtopäätös: Kompleksiluvut eivät ole hiukkaakaan "vähemmän reaalisia" kuin reaaliluvut.

2. Polaarimuoto, liittoluku, argumentti

Koska opettelemme samalla Matlabia, annamme kuvien tuottamiseen käytetyn Matlab-koodin. Sen voi www-sivulta suoraan leikata/liimata Matlab-istuntoon ja tarpeen mukaan modifioida.

clf
z=1+1.5*i
zv=1-1.5*i % Liittoluku (z-viiva)
plot([0 z]) 
hold on
plot(z,'o')
plot([0 zv],'r')
plot(zv,'o')
axis([-2 2 -2 2])
xlabel('Re-akseli')
ylabel('Im-akseli')
grid
shg
angle(z)   % Arg z    
ans =
    0.9828

Kompleksiaritmetiikkaa Matlabilla

» format compact
» z1=8+3*i;z2=9-2*i;
» z1-z2
ans =
  -1.0000 + 5.0000i
» z1*z2
ans =
  78.0000 +11.0000i
» z1/z2
ans =
   0.7765 + 0.5059i
» format long;z1/z2
ans =
  0.77647058823529 + 0.50588235294118i

5 Potenssit, De Moivre'n kaava, juuret

clf
format compact
clear
n=5;
z=1+2*i;
plot([0, z])
hold on
plot(z,'ob')
axis square
axis([-2 2 -2 2])
text(real(z),imag(z+0.1*z),num2str(z))
r=sqrt(5)
R=r^(1/n)
Theta=angle(z)
phi=Theta/n+(0:n-1).*(2*pi/n)
w=R*(cos(phi)+i*sin(phi))
plot(w,'or')
%plot(w,'r')
t=linspace(-pi,pi); plot(R*exp(i*t))
for j=0:n-1
  text(real(w(j+1)),imag(w(j+1)+0.1*z),['w_',num2str(j)])
end
grid
shg

6. Eksponenttifunktio

x R

Määritelmä Olkoon z=x+i y, asetetaan

ez = ex (cos y + i sin y).

Huom! Exp-funktio voitaisiin määritellä samalla potenssisarjalla, joka pätee reaalialueella. Tällöin ei tarvitsisi tietää mitään reaalisen exp-funktion ominaisuuksista.

Eulerin kaava

%complex/demoexp.m
% 7.5.03
addpath c:\usr\heikki\opemate\complex
x=[-1 0 1];   % Näihin kohtiin 3 pystyviivaa z-tasoon.
y=linspace(-pi/6,3*pi/4,20);  % Näihin 20 vaakaviivaa.
m=length(y); n=length(x);
[X,Y]=meshgrid(x,y);         % Pysty- ja vaakaviivojen leikkauspisteiden
Z=X+i*Y;                     % muodostama hila z-tasossa
W=exp(Z);                    % Hilapisteiden kuvat w-tasossa (exp-funktion arvot)
W=W+i*eps;                   % Piirtämistä varten lisätään pienenpieni imag-osa siltä
                             % varalta, että jokin arvo olisi reaalinen.
tol=0.2                 
ztaso=[min(x)-tol,max(x)+tol,min(y)-tol,max(y)+tol];

%%%%%%%%%%%%%%%%%

figure(1)
clf
axis(ztaso)
hold on
Z=Z+i*eps;        % Tällä niksillä varmistetaan, että alkioissa myös imag. osa.
                  % plot ei nimittäin toimi samalla tavoin reaalisille alkioille.
                  % (vrt. edellä)
plot(Z(:,1),'b')  % 1. pystyviiva sinisellä 'b'
plot(Z(:,2),'g')  % 2. vihreällä 'g'
plot(Z(:,3),'c')  % 3. värillä 'cyan'


for k=1:m        
   plot(Z(k,:),'r')  % Kaikki 20 vaakaviivaa piirretään punaisella 'r'.
end
title('z-taso')
shg

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
figure(2)          % Avataan uusi ikkuna w-tasoa varten.
clf
axis square
hold on
plot(W(:,1),'b')   % 1. pystyviivan kuva (sininen)
plot(W(:,2),'g')   % 2. pystyviivan kuva (vihreä)
plot(W(:,3),'c')   % 3. pystyviivan kuva ('cyan')
                   % Siis kukin w-kuvakäyrä samalla värillä kuin vastaava z-lähtöviiva. 
for k=1:m
   plot(W(k,:),'r') % Kaikkien 20:n vaakaviivan kuvat punaisella.
end
title('w-taso')
shg

Pysty- ja vaakaviivojen kuvautuminen exp-funktiossa
Pystyviiva x=a kuvautuu ea - säteiselle ympyräviivalle. y:n vaihteluväli määrää vastaavan keskuskulman. Jos y vaihtelee 2:n korkuisen kaistaleen verran, saadaan koko ympyrä. Vaakaviiva y=b kuvautuu osalle napasädettä, jonka kulma on b. Säteen osaa rajoittavat ympyräviivat, joiden säteet ovat ex1 ja ex2, missä x1 ja x2 rajaavat x-vaihteluvälin.

Jaksollisuus, perusalue

Siten e^z saa kaikki mahdolliset arvonsa 2:n korkuisessa "vyössä", missä x saa kaikki reaaliarvot, eli:

clf
v=([-20+i*pi, 20+i*pi,20-i*pi, -20-i*pi])
fill(real(v),imag(v),'y')
grid

7. Logaritmi

            V={z=x+iy | xR,  y  (-,]}

Saamme siten kuvauksen

                Log: W0 ---> V.

       ez = 3 + 4i .

      exeiy = 3+4i = 5eiφ, missä;
      φ=arg(3+4i) = arctan 4/3 (päähaara).

     ex = 5
     y=φ + 2n

    Log(3+4i) = ln 5 + i arctan 4/3. 

   log(3+4i) = ln 5 + i(arctan 4/3 + 2n) .

w=3+4*i
modw=sqrt(3^2+4^2)
abs(w)               % Tarkistetaan, että Matlabin abs toimii kompleksiluvuilla, tottakai!
phii=atan(4/3)

angle(w)             % Argumentin päähaara on ohjelmoitu Matlabiin.

                     % Yksiargumenttinen atan antaa tässä tapauksessa
                     % myös oikean tuloksen, kuten päättelimme. Yleisesti ei, vaan  
                     % siihen voidaan joutua lisäämään + tai - 
log(5)

w =
   3.0000 + 4.0000i
modw =
     5
ans =
     5
phii =
    0.9273
ans =
    0.9273
ans =
    0.9273
» 

» log(w)
ans =
   1.6094 + 0.9273i
» log(5)
ans =
    1.6094

Huomautus päähaarasta. Käyttämämme (argumentin ja logaritmin) päähaara (-,] on varsin yleisesti käytetty, mutta tämä on sopimuskysymys. Joissakin oppikirjoissa käytetään päähaarana väliä (0,2] (tai [0,2)).

Tehdään vielä sama lasku uudestaan yleisesti

       ew = z 

Olkoon z= r e^iφ, ja merkitään w=u+iv. Tällöin siis:

   eueiv = r eiφ.

   u = ln r,  v= φ = Arg z.

% addpath /home/apiola/opetus/materiaali03/complex
% Laskentaa kompleksisilla logaritmeilla.
% Matlabin funktio log on logaritmin päähaara, siis luentomerkinnöissä
% (ja KRE:ssä) LN.

  % Syötteet:
     log(-1)
     log(i)
     log(3+4*i)
     moduuli=log(5)
     argumentti=angle(3+4*i)
     atan(4/3)
     atan2(4,3)
     log(2)

     % Syötteet ja tuosteet:
>> log(-1)
ans =
        0 + 3.1416i        % pi*i
>>      log(i)
ans =
        0 + 1.5708i        % i*pi/2
>>      log(3+4*i)
ans =
   1.6094 + 0.9273i
>> moduuli=log(5)
moduuli =
    1.6094
>>      argumentti=angle(3+4*i)
argumentti =
    0.9273
>>      atan(4/3)
ans =
    0.9273
>>      atan2(4,3)
ans =
    0.9273

>>      log(2)     % Posit. reaaliluvun log ja kompleksisen logaritmin
  ans =            % päähaara ovat samat, koska posit. reaaliluvun
    0.6931         % arg = 0