MattieT-tehtäväportaali

Sisällysluettelo

---

1. mplNl004

   mplNLE004 Maple , Matlab (H2T9)

   Tarkastellaan väestönkasvumallia $$N(t)=N_0e^{\lambda t}+{\frac{v}{\lambda}}(e^{\lambda t}-1),$$ jossa otetaan huomioon biologisen lisääntymisen ohella myös maahanmuutto, jonka oletetaan tapahtuvan vakionopeudella $v$ yksilöä vuodessa (netto). Oletetaan, että tietty populaatio on alunperin $10^6$ yksilöä, $435 000$ yksilöä muuttaa "maahan" 1. vuoden aikana ja populaatiossa on $1 564 000$ yksilöä vuoden lopulla. Määritä luku $\lambda$ Käytä tätä $\lambda$:n arvoa ennustamaan populaation koko toisen vuoden lopussa, kun oletetaan maahanmuuttovauhdin säilyvän vakiona.

   Vihje:
   Maple: fsolve, Matlab: fzero

   Vaativuus: 2
   Tehtävän Latex-koodi:
   ../mplteht/mplNonlinEqu/mplNl004.tex

   Ratkaisu:
   ../mplteht/mplNonlinEqu/ratkaisut/mplNl004R.pdf
   ../mplteht/mplNonlinEqu/ratkaisut/mplNl004R.mw
   

   Avainsanat: MapleNonlinEqu,mplNonlinEqu, mplNl, epälineaariset yhtälöt, Epälineaarinen yhtälö, väestönkasvumalli, epalineaarinen yhtalo, vaestonkasvumalli.

   Maplefunktioita: solve, fsolve

   ---

2. mplNl006

   mplNl006, Fixed point iteration
   Tutki funktion $f(x)=a\, x -x^2$ iterointia, kun $a=3.8$.

   Muodosta iteraatiojono $x_0 = 1.5, x_{n+1}=f(x_n), n=0,\ldots,50.$ Piirrä iteraatiopisteet $(n,x_n)$ (style=point).

   Kuvassa pitäisi näkyä kaoottinen käytös.

   Muuta alkupisteksi $w_0=1.5001$, ja vertaa jonoja. Vertailua on helppo visualisoida erotusten avulla tyyliin:

    plot([seq([k,w[k]-x[k]],k=0..50)],style=point); 

   Vihje: Maplen for-luuppi toimii tähän tapaan:

    x[0]:=...
    for kk to 10 do       % Oletus: from 1 
    x[kk] := f(x[kk-1]) 
    end do

   Yllä olevan kaltaisessa pisteiden piirrossa ei ole muuta vaikeaa kuin sulkujen ymmärtäminen. Kokeile ensin tyyliin:
   [seq([k, x[k]], k = 0 .. 10)] Tässä näkyy muoto, xy-pisteiden lista, joka kelpaa suoraan plot:n argumentiksi.

   Vaativuus: 2-
   Tehtävän Latex-koodi:
   ../mplteht/mplNonlinEqu/mplNl006.tex

   Avainsanat: Epälineeriset yhtälöt, Nonlinear equations, Maple ,mplNonlinEqu,mplNl, iterointi, kiintopiste, fixedpointiteration
   

   Maplefunktioita: fsolve