MattieT-tehtäväportaali

Etusivu
MattieO-materiaaliportaali
MATLAB
Maple
Mathematica

Yhteydenotot:

Heikki Apiola
Dept. of Math. Sci.
Aalto-yliopisto
heikki.apiola'at'aalto.fi

Juha Kuortti
Dept. of Math. Sci.
Aalto-yliopisto
juha.kuortti 'at' aalto.fi

Miika Oksman
Dept. of Math. Sci.
Aalto-yliopisto
miika.oksman 'at' aalto.fi

Maple/Lineaarialgebra

Käytön idea: Kun löydät mieleisesi tehtävän, sen alapuolella on linkki tex-tiedostoon. Lataa tiedosto, ja liitä se harjoituspohjaan tai omaan Latex-pohjaasi.

Sisällysluettelo

  1. mplLA000

    mplLA000.tex

    Matriisit Maplessa

    Komennolla
    with(LinearAlgebra)
    ladataan laaja lineaarialgebran kirasto. Maplessa on myös vanhempi linalg. Joissakin yhteyksissä tarvitaan myös tätä.

    • Matriisin \[\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a & b &c \\ d & e &f \end{bmatrix}\] voi syöttää joko vaakavektoreita päällekkäin latomalla: \[A := <<a | b | c>, <d | e | f>>\] tai pystyvektoreita vierekkäin: \[A:=<<a, d> | <b , e> | < c , f>> .\]

    Ohjetiedoston Latex-koodi:
    ../mplteht/mplLinalg/mplLA000.tex

    Avainsanat: Lineaarialgebraa Maplella, matriisilaskentaa,mplLinalg,mplLA

    Maplefunktioita: with(LinearAlgebra); with(linalg); Matrix, matrix, Vector, vector

  2. mplLA001

    mplLA001.tex
    Ratkaise yhtälöryhmä \[\mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b},\] kun \[\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 5 & -13 &-13& -2 & 7 \\ 18 & -4 & 30& -1 & -12 \\ -23 & 3 & 7& 15 & 7 \\ 9 & 36 & -1& 14 & 16 \\ 3 & 28& 7& 14 & 5 \\ \end{bmatrix}, \mathbf{b} = \begin{bmatrix} -196\\ 435\\ 11\\ 111\\ 195\\ \end{bmatrix}\]

    Vihje: Matriisin \[\mathbf{A} = \begin{bmatrix} a & b &c \\ d & e &f \end{bmatrix}\] voi syöttää joko vaakavektoreita päällekkäin latomalla: \[A := <<a | b | c>, <d | e | f>>\] tai pystyvektoreita vierekkäin: \[A:=<<a, d> | <b , e> | < c , f>> .\]

    Vaativuus: 1
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mplteht/mplLinalg/mplLA001.tex

    Avainsanat: Lineaarialgebraa Maplella, matriisilaskentaa,mplLinalg,mplLA

    Maplefunktioita: with(LinearAlgebra); with(linalg); Matrix, matrix, Vector, vector

  3. mplLA002

    mplLA002.tex
    Muodosta Maplessa matriisi \[A=\left[ \begin {array}{ccc} a&0&5\\ 1&1&1 \\ -a&0&0\end {array} \right]\]

    (a) Määrittele aliakset vihjeen mukaan.

    (b) Muodosta karakteristinen polynomi suoraan määritelmän mukaan hyödyntäen aliaksia Det,Id.
    (c) Muodosta karakteristinen polynomi LinearAlgebra-kirjaston CharacteristicMatrix ja Determinant-komentojen avulla.
    (d) Sovella factor-komentoa polynomiin (sattuu onnistumaan), ja ratkaise puuttuvat juuret solve-komennolla.
    e) Näppäise hiirellä matriisia A ja paina oikeaa painiketta. Valitse Eigenvalues, ja voit kokeilla muitakin.

    Vihje: Lataa kirjasto ja määrittele alias-nimet pitkille nimille:

      > with(LinearAlgebra)
  > alias(Det=Determinant,chmat=CharacteristicMatrix,Id=IdentityMatrix)

    Vaativuus: 1+
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mplteht/mplLinalg/mplLA002.tex

    Avainsanat: Lineaarialgebraa Maplella, matriisilaskentaa,mplLinalg,mplLA, ominaisarvot,ominaisvektorit,karakteristinen polynomi

    Maplefunktioita: with(LinearAlgebra); with(linalg); Matrix, matrix, Vector, vector, Eigenvalues,Eigenvectors

  4. mplLA003

    mplLA003.tex
    Tutustu tähän: http://www.math.hut.fi/teaching/v/3/02/L/LA.html, voit ottaa vastaavan .mw:n pohjaksi. Kirjoita viitteen http://www.math.hut.fi/teaching/v/3/00/L/G-J.html
    Maple-työ LinearAlgebra-tyylillä, LA.mw/html:n mallin mukaisesti. Tarkista rivioperaatiot ref- ja rref-aliaksia käyttäen. Selvitä ratkaisujen “lukumäärä” (olemassaolo ja mahd. vapaiden parametrien määrä). Tarkista lopuksi komennolla LinearSolve.

    Vihje: Maplessa on kaksi lineaarialgebrakirjastoa: vanhempi linalg ja uudempi LinearAlgebra. Tässä tehtävässä opetellaan uudemman käyttöä (se on mm. matriisien osien käsittelyn kannalta selkeämpää, selvästi Matlab-vaikutteista). Samalla opitaan/kerrataan oikeaa asiaa liittyen lineaaristen yhtälösysteemien perusoppiin.

    Vaativuus: 1+
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mplteht/mplLinalg/mplLA003.tex

    Ratkaisu:
    ../mplteht/mplLinalg/ratkaisut/mplLA003R.pdf
    ../mplteht/mplLinalg/ratkaisut/mplLA003R.mw

    Avainsanat: Lineaarialgebraa Maplella, matriisilaskentaa,mplLinalg,mplLA, matriisien muodostaminen, Gaussin eliminointi

    Maplefunktioita: with(LinearAlgebra); with(linalg); Matrix, matrix, Vector, vector

  5. mplLA004

    mplLA004.tex
    Nyt emme enää harjoittele rivioperaatioilla laskemista, vaan kaikissa on lupa käyttää ref/rref-aliasoituja funktioita.

    Määritä kanta \(\mathbb{R}^5\):n aliavaruudelle, jonka virittävät vektorit \(\mathbf{v_1}=(1,1,0,0,1)\), \(\mathbf{v_2}=(0,2,0,1,-1)\), \(\mathbf{v_3}=(0,-1,1,0,2)\), \(\mathbf{v_4}=(1,4,1,2,1)\), \(\mathbf{v_5}=(0,0,2,1,3)\).

    Jos Aatu saa tulokseksi jotkin vektorit ja Öhky saa jotkin toiset (saman määrän sentään toivottavasti), niin miten selvität, kumpi on oikeassa vai kenties kumpikin?

    Vihje:

      with(LinearAlgebra)
  alias(ref=GaussianElimination,rref=ReducedRowEchelonForm)

    Vaativuus: 2-
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mplteht/mplLinalg/mplLA004.tex

    Ratkaisu:
    ../mplteht/mplLinalg/ratkaisut/mplLA004R.pdf
    ../mplteht/mplLinalg/ratkaisut/mplLA004R.mw

    Avainsanat: Lineaarialgebraa Maplella, matriisilaskentaa,mplLinalg,mplLA,kanta,basis,lineaarinen riippuvuus/mattomuus, viritys

    Maplefunktioita: with(LinearAlgebra); with(linalg); Matrix, matrix, Vector, vector, alias(ref=GaussianElimination,rref=ReducedRowEchelonForm),

  6. mplLA005

    mplLA005.tex
    Olkoon \(A=\left[ \begin {array}{ccccc} 5&1&2&2&0\\3&3&2&-1&-12\\8&4&4&-5&12\\2&1&1&0&-2 \end {array} \right] \), ja merkitään sarakevektoreita \(\mathbf{a_1},\ldots,\mathbf{a_5}\). Olkoon \(B=\lbrack \mathbf{a_1},\mathbf{a_2},\mathbf{a_4} \rbrack\).

    (a) Selvitä, miksi \(\mathbf{a_3}\) ja \(\mathbf{a_5}\) kuuluvat B:n sarakeavaruuteen col(B).
    (b) Määritä nolla-avaruuden N(A) kanta.
    (c) Olkoon \(T:\mathbb{R}^5 \mapsto \mathbb{R}^4\) \(A\):n määräämä lineaarikuvaus, ts. \(T \mathbf{x} = A \mathbf{x}\) (ts. \(T = L_A\)). Selvitä, miksi \(T\) ei ole injektio eikä surjektio.

    Vihje

      with(LinearAlgebra)
  alias(ref=GaussianElimination,rref=ReducedRowEchelonForm)

    Vaativuus: 2-
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mplteht/mplLinalg/mplLA005.tex

    Ratkaisu:
    ../mplteht/mplLinalg/ratkaisut/mplLA005R.pdf
    ../mplteht/mplLinalg/ratkaisut/mplLA005R.mw

    Avainsanat: Lineaarialgebraa Maplella, matriisilaskentaa,mplLinalg,mplLA, sarakeavaruus, nolla-avaruus, columnspace, nullspace

    Maplefunktioita: with(LinearAlgebra); with(linalg); Matrix, matrix, Vector, vector,alias(ref=GaussianElimination,rref=ReducedRowEchelonForm

  7. mplLA006

    mplLA006.tex
    Olkoon \(A=\left [\begin {array}{cccc} 1&3&-1&4\\2&1&5&7 \\3&4&4&11\end {array}\right ]\)

    (a) Määritä sarakeavaruuden kanta.
    (b) Määritä riviavaruuden kanta.
    (c) Määritä nolla-avaruuden (ytimen) dimensio.
    (d) Tarkista dimensioita koskevan peruslauseen toteutuminen.

    Vihje

      with(LinearAlgebra)
  alias(ref=GaussianElimination,rref=ReducedRowEchelonForm)

    Sopii myös käsinlaskuun.

    Vaativuus: 1+
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mplteht/mplLinalg/mplLA006.tex

    Ratkaisu:
    ../mplteht/mplLinalg/ratkaisut/mplLA006R.pdf
    ../mplteht/mplLinalg/ratkaisut/mplLA006R.mw

    Avainsanat: Lineaarialgebraa Maplella, matriisilaskentaa,mplLinalg,mplLA,kanta, dimensio, riviavaruus, sarakeavaruus, nolla-avaruus

    Maplefunktioita: with(LinearAlgebra); with(linalg); Matrix, matrix, Vector, vector, alias(ref=GaussianElimination,rref=ReducedRowEchelonForm)

  8. mplLA007

    mplLA007.tex

    (a) Olkoon \(A\) \(m\times n\)-matriisi ja \(Ab=\lbrack A\ \ \textbf{b} \rbrack\) liitännäismatriisi. Lausu (välttämätön ja riittävä) ehto rangien \(r(A)\) ja \(r(Ab)\) avulla sille, että yhtälösysteemillä \(A x = b\) olisi ratkaisu(ja) (eli on konsistentti).

    (b) Osoita, että \(m\times n\)-matriisille \(A\) pätee \(r(A) + n(A^T) = m \)

    Vihje: Puhdas käsinlasku.

    Vaativuus: 2
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mplteht/mplLinalg/mplLA007.tex

    Ratkaisu:
    ../mplteht/mplLinalg/ratkaisut/mplLA007R.pdf
    ../mplteht/mplLinalg/ratkaisut/mplLA007R.mw

    Avainsanat: Lineaarialgebraa Maplella, matriisilaskentaa,mplLinalg,mplLA

    Maplefunktioita: with(LinearAlgebra); with(linalg); Matrix, matrix, Vector, vector

  9. mplLA008

    mplLA008.tex

    (a) Osoita, että monomit \(1,x,x^2,\ldots,x^n\) ovat LRT \(\mathbb{R}\):ssä (ts. määrittelyjoukkona koko \(\mathbb{R}\)) .
    (b) Osoita, että ne ovat LRT myös jos määritelyjoukkona on mikä tahansa väli \(\lbrack a,b\rbrack\).

    (Tietysti riittää tehdä pelkkä (b), niinhän.)

    Tapoja on monia: (a)-kohdassa vektoriyhtälö voidaan derivoida toistuvasti ja laskea \(0\):ssa. Tai voidaan käyttää LRV-lemmaa ja todeta raja-arvokäytöksen perusteella, että \(x^k\) ei voi yhtyä alemmanasteiseen polynomiin.

    (b)-kohta hoituu ainakin polynomien tekijöihinjaolla (ei haittaa, vaikka tulee kompleksilukuja mukaan). Eräs tapa olisi osoittaa, että ns. Vandermonden matriisi on aina kääntyvä (sarakkeet LRT). (Toisaalta tämä tulee sivutuotteena, jos käytämme jotain muuta tapaa.) Kyseessä on matriisi, joka saadaan, kun monomit \(1,x,\ldots x^n\) lasketaan \(n+1\):ssä pisteessä \(x_0,\ldots, x_n\) (Pisteet vaakasuuntaan, potenssit pystysuuntaan.) Maplen LinearAlgebra:ssa on VandermondeMatrix .

    (c) Piirrä monomien kuvaajia vaikkapa välillä \(\lbrack-1,1\rbrack\) ja yritä nähdä kuvasta lineaarinen riippumattomuus. Piirrä monomeja isoilla peräkkäisillä parillisilla (tai parittomilla) \(n\):n arvoilla ja totea "melkein LRV". Tämä ilmenee numeerisessa laskennassa esim. interpolaatiopolynomin tapauksessa "häiriöalttiutena".

    Lyhenteet:
    Lineaarisesti riippumaton: LRT
    Lineaarisesti riippuva:LRV

    Vihje: Puhdas käsinlasku, paitsi c)-kohta.

    Vaativuus: 2
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mplteht/mplLinalg/mplLA008.tex

    Ratkaisu:
    ../mplteht/mplLinalg/ratkaisut/mplLA008R.pdf
    ../mplteht/mplLinalg/ratkaisut/mplLA008R.mw

    Avainsanat: Lineaarialgebraa Maplella, matriisilaskentaa,mplLinalg,mplLA,monomien lineaarinen riippumattomuus, monomit

    Maplefunktioita: with(LinearAlgebra); with(linalg); Matrix, matrix, Vector, vector

  10. mplLA009

    mplLA009.tex
    Matriisin N sarakkeet ovat koordinaatteja, jotka rajaavat ison \(N\)-kirjaimen.

    \(N=\left[ \begin {array}{cccccccc} 0& 0.5& 0.5&6&6& 5.5& 5.5&0\\0&0& 6.42&0&8&8& 1.58&8\end {array} \right] \)

    Piirrä ensin tuo N.

    Sovella N:ään lineaarikuvausta, jonka matriisi on \(A= \left[ \begin {array}{cc} 1& 0.25\\0&1\end {array} \right] \). Tämä on tyyppiä "leikkaus", "shear". Piirrä tulos.

    Skaalaa sen jälkeen x-koordinaatit kertomalla luvulla \(0.75\) ja piirrä taas.

    Vapaaehtoinen lisäys. Pyörittele N:ää "keskipisteen" ympäri siirtämällä keskipiste ensin O:oon ja kertomalla sopivalla kiertomatriisilla ja siirtämällä lopuksi takaisin.

    Vihje: Ohje piirtoon: Nykyisin voidaan piirtää datapisteitä (yhdysjanoineen) Matlab-tyylisesti(kin) näin: > plot(v1,v2);
    Matriisin M rivi k : M[k,1..-1]
    (Vrt. Matlab: M(k,:))
    Vanhempi tapa: Piirrettävä data pisteiden listana:
    > convert(Transpose(N),listlist); plot(%);

    Vaativuus: 2-
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mplteht/mplLinalg/mplLA009.tex

    Ratkaisu:
    ../mplteht/mplLinalg/ratkaisut/mplLA009R.pdf
    ../mplteht/mplLinalg/ratkaisut/mplLA009R.mw

    Avainsanat: Lineaarialgebraa Maplella, matriisilaskentaa,mplLinalg,mplLA

    Maplefunktioita: with(LinearAlgebra); with(linalg); Matrix, matrix, Vector, vector

  11. mplLA010

    mplLA010.tex
    (Kynä-paperitehtävä)
    Tarkastellaan lämmönjohtumista ohuessa metallilevyssä. Oletetaan, että johtumista tapahtuu vain levyn suunnassa, ja levyn reunoilla on annetut (ajan suhteen) vakiolämpötilat. Levyn lämpötilat eri pisteissä asettuvat ajan kuluessa arvoihin, jotka ovat ajan suhteen vakioita, tällöin puhutaan lämpötilajakauman tasapainotilasta ("steady state"). Tehtävänä on määrittää lämpötilajakauma levyssä tasapainotilan vallitessa.

    Tarkastellaan kuvan mukaista tilannetta: (Klikkaa oikealla olevaa pdf-linkkiä, niin kuva näkyy kunnolla.)

                   --- 20----20---20----    
              |    |     |     |    |
             10----*-----*-----*---40
              |    |     |     |    |
             10----*-----*-----*----40
              |    |     |     |    |
               ----20----20----20---

    Kuvassa näkyvät annetut vakioreunalämpötilat (reunaehdot). Tehtävänä on laskea ratkaisuapproksimaatiot *:llä merkityissä sisäsolmupisteissä käyttäen seuraavaa periaatetta: Lämpötila levyn solmupisteessä on naapurisolmujen lämpötilojen keskiarvo.

    Jos indeksoidaan solmupisteiden lämpötilat vaakarivijärjestyksessä: \(T_1,\ldots T_6\), voidaan ryhtyä kirjoittamaan yhtälöitä tyyliin:

    \(T_1=\frac{20+10+T_4+T_2}{4}, \ldots .\)

    Kirjoita koko \(6\times 6\)- yhtälösysteemi "standardimuodossa".
    Huom: Tasapainotilaratkaisu saadaan ns. Laplacen yhtälön \(\nabla^2 T = 0\) ratkaisuna. Tässä esitettyyn likimääräismenettelyyn ns. differenssimenetelmään Ratkaisua pyydetään seuraavassa tehtävässä.

    Vaativuus: 2
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mplteht/mplLinalg/mplLA010.tex

    Avainsanat: Lineaarialgebraa Maplella, matriisilaskentaa,mplLinalg,mplLA

    Maplefunktioita: with(LinearAlgebra); with(linalg); Matrix, matrix, Vector, vector

  12. mplLA011

    mplLA011.tex
    Ratkaise edellisen (mplLA010) tehtävän yhtälösysteemi Maplea (tai Matlabia) käyttäen. (Tässä Maple-ohjeet.) Muodosta sitten edellisen tehtävän kuvan mukainen \(4\times 5\) matriisi, jossa on annetut reunalämpötilat sekä lasketut sisälämpötilat oikeilla kohdillaan. Ota nurkkapisteiden lämpötiloiksi kahden naapurisolmun lämpötilojen keskiarvo. Piirrä kuva, pyörittele hiirellä.

    Vihje: Tehtävässä riittää käytellä LinearAlgebra-kirjaston funktiota LinearSolve.

    Ratkaisuvektorin muokkaaminen matriisiksi onnistuu mukavasti, kun leikkaat/liimaat alla olevan funktiomäärityksen Maple-työarkillasi. (Suorita leikkaus pdf-tehtävätiedostosta.)

    Reshape:=(vek,m,n)->Matrix(linalg[matrix](m,n,convert(vek,list)));

    Funktio on tehty vastaamaan Matlabin funktion reshape käytöstä siinä tapauksessa, jossa vektori muutetaan annetun kokoiseksi matriisiksi.

    Lämpötilamatriisin rakentelu kannattaa hoidella (Matlabinomaiseen) tyyliin:

    Tsisa:=Reshape(T,2,3); # vektorissa T on ratkaisulampotilat.
Tiso:=Matrix(4,5,0);
vaaka:=<15|20|20|20|30>;
pysty:=...;
Tiso[2..3,2..4]:=Tsisa;
...

    Piirtäminen komennolla matrixplot (muista with(plots):)

    matrixplot(Tiso,axes=boxed);

    Pyörittele kuvaa hiirellä.

    Huom: Sanomattakin on selvää, että tehtävä sopii erikoisen hyvin Matlab:lle. Tässä pikemminkin näytetään, että Maplen LinearAlgebra-työkaluilla voidaan matkia Matlab-työtapaa ja päästä lähelle samaa käsittelymukavuutta.

    Lisätehtävä: Tee ratkaisu Matlabilla!

    Palataan asiaan perusteellisemmin Matlab-tehtävien yhteydessä, jolloin käsitellään lähemmin differenssimenetelmää.

    Vaativuus: 2
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mplteht/mplLinalg/mplLA011.tex

    Ratkaisu:
    ../mplteht/mplLinalg/ratkaisut/mplLA011R.pdf
    ../mplteht/mplLinalg/ratkaisut/mplLA011R.mw

    Avainsanat: Lineaarialgebraa Maplella, matriisilaskentaa,mplLinalg,mplLA

    Maplefunktioita: with(LinearAlgebra); with(linalg); Matrix, matrix, Vector, vector

  13. mplLA012

    mplLA012.tex
    Olkoon \({\cal B} = \lbrace 1,\cos t,\ldots, \cos^6 t \rbrace\) ja \({\cal C} = \lbrace 1,\cos t,\ldots,\cos 6 t \rbrace\).

    Suorita Maple-komennot:

    > cos(2*t): %=expand(%);
...
> cos(6*t): %=expand(%);

    Olkoon \(H=\) sp(\({\cal B}\)). Osoita, että \({\cal B}\) on \(H\):n kanta. (Tämä on miltei pelkkä toteamus, sehän palautuu monomien LRT- ominaisuuteen.) Varsinainen tehtävä:

    Kirjoita \({\cal C}\):n vektorien \({\cal B}\)-koordinaattivektorit (käyttäen hyväksi edellä viitatun Maple-istunnon tuloksia) ja osoita niiden avulla, että \({\cal C}\) on LRT ja siis \(H\):n kanta.

    Vihje: Merkinnät kirjan Lay Linear Algebra mukaiset.

    Vaativuus: 2
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mplteht/mplLinalg/mplLA012.tex

    Ratkaisu:
    ../mplteht/mplLinalg/ratkaisut/mplLA012R.pdf
    ../mplteht/mplLinalg/ratkaisut/mplLA012R.mw

    Avainsanat: Lineaarialgebraa Maplella, matriisilaskentaa,mplLinalg,mplLA

    Maplefunktioita: with(LinearAlgebra); with(linalg); Matrix, matrix, Vector, vector

  14. mplLA013

    mplLA013.tex
    Lay: Linear Algebra s. 277 teht. 17

    Olkoon \({\cal B} = \lbrace 1,\cos t,\ldots, \cos^6 t \rbrace = \lbrace \mathbf{x_0},\ldots, \mathbf{x_6} \rbrace\) ja \({\cal C} = \lbrace 1,\cos t,\ldots,\cos 6 t \rbrace = \lbrace \mathbf{y_0},\ldots, \mathbf{y_6} \rbrace\), kuten edellä (teht. mplLA012).

    Edellä osoitettiin, että myös \({\cal C}\) on avaruuden \(H=\)sp\(\lbrace \mathbf{x_0},\ldots, \mathbf{x_6} \rbrace\) kanta.

    (a) Muodosta \(P=\begin{bmatrix} \left[ \mathbf{y_0}\right]_\mathcal{B}&|& \ldots &|& \left[ \mathbf{y_6}\right]_\mathcal{B} \end{bmatrix}\), ja laske \(P^{-1}.\)

    (b) Selitä, miksi \(P^{-1}\):n sarakkeet ovat vektorien \(\mathbf{x_0},\ldots, \mathbf{x_6}\) \({\cal C}\)-koordinaattivektoreita.
    Kirjoita sitten trigonometrisiä kaavoja, joilla \(\cos t\):n potensseja voidaan lausua moninkertaisten kulmien kosinien avulla. Esimerkkinä sopivasta kaavasta olkoon: \(5 \cos^3 t - 6 \cos^4 t + 5 \cos^5 t - 12 \cos^6 t\).

    Tällainen esitysmuoto on mm. integroinnin kannalta erityisen hyödyllinen, kuten varmasti tiedät.

    Vihje: Merkinnät kirjan Lay Linear Algebra mukaiset.

    Vaativuus: 2
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mplteht/mplLinalg/mplLA013.tex

    Ratkaisu:
    ../mplteht/mplLinalg/ratkaisut/mplLA013R.pdf
    ../mplteht/mplLinalg/ratkaisut/mplLA013R.mw

    Avainsanat: Lineaarialgebraa Maplella, matriisilaskentaa,mplLinalg,mplLA

    Maplefunktioita: with(LinearAlgebra); with(linalg); Matrix, matrix, Vector, vector