MattieT-tehtäväportaali

Sisällysluettelo

---

1. mlDi013

   mlDi013.tex
   Määritä funktion $f(x) = \arcsin(2x\sqrt{1-x^2})$ suurin ja pienin arvo välillä $[-1,1]$.

   Vihje:
   $\arcsin$ on Mathematicassa ArcSin, Maplessa arcsin ja Matlabissa asin.
   Käytä symboliohjelmissa perinteistä “diffistekniikkaa” kuvan kanssa, Matlab:ssa raakaa “numeronmurskausta” tyyliin: linspace, plot, zoom, uusi linspace kapeammalla välillä, find, ...

   Vaativuus: 1+
   Tehtävän Latex-koodi:
   ../mlteht/mlDiffint1/mlDi013.tex

   Ratkaisu:
   ../mlteht/mlDiffint1/ratkaisut/mlDi013R.pdf
   ../mlteht/mlDiffint1/ratkaisut/mlDi013R.m
   

   Avainsanat: mlDiffint1,Matlabdiffint1, Differentiaali- ja integraalilaskentaa Matlab:lla, calculus1, analysis1, looginen indeksointi, minimi/maksimi

   Matlabfunktioita: find, fminsearch
   
   

   ---

2. mlDi030

   Muista, että funktion $f$ derivaatta pisteessä $x_0$ määritellään seuraavasti: $$f'(x_0)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} .$$ Kuinka laskisit derivaatan numeerisesti? Kirjoita MATLAB funktio joka laskee annetun funktion derivaatan.

   Kokeile laskea funktion $f(x)= \sin(x)$ ja vertaa saamaasi tulosta derivaatan tarkkaan arvoon $f'(x)=\cos(x)$. Tuottaako pienempi $h$:n arvo parempia tuloksia?

   Keksitkö keinoa jolla laskea toinen derivaatta numeerisesti? Entä vektorifunktioiden derivointi?

   Vihje Muista, että alkioittaiset alkioittaiset operaatiot ilmoitetaan pisteellä.

   Vaativuus: 1+
   Tehtävän Latex-koodi:
   ../mlteht/mlDiffint1/mlDi030.tex

   Avainsanat: mlDiffint1,Matlabdiffint1, Differentiaali- ja integraalilaskentaa Matlab:lla, calculus1, analysis1, differenssiapproksimaatio, erotusosamaara, erotusosamäärä, numeerinen derivaatta
   

   Matlabfunktioita: diff
   
   

   ---

3. mlDi051

   mlDi051.tex [Moler NCM Probl. 6.6 p. 180]
   

   “Error function”, erf määritellään integraalina: $$\mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2} dt.$$

   Tunnetusti integrointia ei voida suorittaa ns. “suljetussa muodossa”, mutta sille on kehittyneissä matemaattisissa ohjelmistoissa luotettava numeerinen laskentaohjelmansa, niin myös Matlab:ssa.

   Käytä Matlab:n numeerista integrointifunktiota integral taulukoidaksesi erf-funktion arvoja $x$:n arvoilla $0.1,0.2,\ldots 1.0 .$ Vertaa Matlab:n erf-funktion arvoihin samoissa pisteissä.

   Vihje: help integral (help quad), help erf
   

   Vaativuus: 2
   Tehtävän Latex-koodi:
   ../mlteht/mlDiffint1/mlDi051.tex

   Avainsanat: mlDiffint1,Matlabdiffint1, Differentiaali- ja integraalilaskentaa Matlab:lla, numeerinen integrointi, erf

   Matlabfunktioita: integral, erf
   
   

   ---

4. mlDi05

   mlDi05.tex
   Ohjelmat:
   Maple,Mathematica , Matlab (erityisesti b)-kohta).
   (Kurssi: 2012 kevät H/H2T15.tex)

   Laske integraali $$\int_0^{2\pi} \frac{\cos x}{13 - 12\cos 2x}\,dx$$ a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo?

   Vihje:
   

   Mathematica:
   Symbolinen integrointi tapahtuu funktiolla Integrate, numeerinen funktiolla NIntegrate. Jälkimmäisessä sovelletaan suoraan jotakin numeerisen integroinnin menetelmää, jonka valintaan myös käyttäjä voi vaikuttaa. Ks. dokumentaatiota, erityisesti Implementation Notes.

   Maple:
   Symbolinen integrointi tapahtuu funktiolla int, numeerinen funktiolla int(...,type=numeric) tai evalf(Int(...)). Jälkimmäisessä sovelletaan suoraan jotakin numeerisen integroinnin menetelmää, jonka valintaan myös käyttäjä voi vaikuttaa.
   

   Matlab:
   Integrandi määritellään funktioksi (helpoimmin funktiokahvaksi). Sitten quad-alkuiset Matlab-funktiot.

   Vaativuus: 1+
   Tehtävän Latex-koodi:
   ../mlteht/mlDiffint1/mlDi05.tex

   Ratkaisu:
   ../mlteht/mlDiffint1/ratkaisut/mlDi05R.pdf
   ../mlteht/mlDiffint1/ratkaisut/mlDi05R.m
   

   Avainsanat: mlDiffint1,Matlabdiffint1, Differentiaali- ja integraalilaskentaa Matlab:lla, calculus1, analysis1

   Matlabfunktioita: ..
   
   

   Luokittelu:
   mplteht/mplDiffint/mplxx.tex, matlabteht/mlDiffint/mlDixx.tex
mmateht/mmaDiffint/mmaDi100
   Avainsanat:
   Symbolinen integrointi, numeerinen integroinit, funktiot, lausekkeet