|
MATLAB-tehtäviä koskien epälineaaristen yhtälöiden numeerista ratkaisemista.
Käytön idea: kun löydät mieleisesi tehtävän, sen alapuolella on linkki tex-tiedostoon. Lataa
tiedosto, ja liitä se pääsivulta löytyvään harjoituspohjaan.
- 1.
Historiallisesti mielenkiintoinen yhtälö on
jota Wallis-niminen matemaatikko käsitteli, kun hän ensi kertaa esitteli Newtonin
menetelmää Ranskan akatemialle. [Lähde: Moler NCM]
-
1.
- Piirrä kuvaaja saadaksesi alkuarvon Newtonin menetelmälle reaalijuurta
varten.
-
2.
- Määritä reaalijuuri omanewton:lla Neuvo: Polynomifunktion voit määritellä
tähän tapaan, kun p on kerroinvektori:
pf=@(x) polyval(p,x)
Derivaatan saat polyder- (tai omapolyder)-funktiolla.
-
3.
- Yritä löytää kompleksijuuri antamalla kompleksisia alkuarvoja. (Jos löydät
yhden, niin toinen on sen liittoluku.)
-
4.
- Määritä juuret roots-funktion avulla.
Vihje:
Ratkaisu:MlNl01ratk.m[Tulee]
Tehtava
- 2.
Määritä funktion
kaikki nollakohdat (33 kpl).
Tehtava
- 3.
[NCM 4.15, p. 138]
Keplerin malli:
-
1.
- Ratkaise fzero:lla
-
2.
- Sarjakehitelmä:
Vihje:
Ratkaisu:MlNl02ratk.m[Tulee]
Tehtava
- 4.
[NCM 4.15, p. 138]
Vesiputken syvyys, jotta ei jäädy.
Vihje:
Ratkaisu:MlNlxxratk.m[Tulee]
Tehtava
- 5.
Välinpuolitusmenetelmä on eräs tapa löytää funktion nollakohta. Bolzanon
lauseen nojalla, jos jatkuvalla funktiolla on jonkin suljetun välin [ a,b] päätepisteissä
erimerkkiset arvot, sillä on vähintään yksi nollakohta tällä välillä.
Välinpuolitusmenetelmä toimii seuraavasti:
- Laske välin [a,b] keskikohta m = .
- Laske f(m). Jos f(m) = 0, ollaan löydetty nollakohta ja lopetetaan algoritmi.
- Jos f(m):n merkki on sama kuin f(a):n, voidaan tutkittavan välin vasenta
päätepistetta siirtää kohtaan m, eli a ← m, ja palataan algoritmin
kohtaan 1.
- Jos f(m):n merkki on sama kuin f(b):n, voidaan tutkittavan välin oikeaa
päätepistetta siirtää kohtaan m, eli b ← m, ja siirrytään algoritmin
kohtaan 1.
Tätä ideaa noudattaen, laske funktion f(x) = esin(x2)e−x2 sin(x2) − välillä [0, 1]
sijaitseva nollakohta.
Vihje: Numeerisessa tapauksessa absoluuttisen nollan löytäminen on lähes mahdotonta – sinun
tulee määrittää jokin hyväksyttävä toleranssi. Funktion arvojen samanmerkkisyyttä voidaan
tutkia laskemalla näiden tulo: jos kahden luvun tulo on positiivinen, ovat ne samanmerkkisiä.
Tehtava
Ratkaisu
- 6.
Sekanttimenetelmä on toinen funktion nollakohtien löytämiseen käytettävä
menetelmä. Sekantti on suora joka leikkaa annettua käyrää kahdessa pisteessä.
Sekanttimenetelmän idea on approksimoida annettua funktiota f välillä [ a,b]
pisteiden f( a) ja f( b) välille piirretyllä suoralla. Tämän suoran, ja x-akselin välinen
leikkauspiste otetaan välin uudeksi päätepisteeksi. Iteraatiokaavaksi saadaan
näin
Sekanttimenetelmä suppenee yleensä, mutta ei aina, nopeammin kuin
välinpuolitusmenetelmä.
Sekanttimenetelmää käyttäen laske funktion
välillä [0, 5] sijaitseva nollakohta.
Vihje: Tälle funktiolle ja tälle menetelmälle on mahdollista löytää alkuarvo, jolla menetelmä ei
toimi: kokeile siis useaa arvausta.
Tehtava
Ratkaisu
- 7.
Matlab/Maple/Mathematica H2T17/mlNl100/mplY100/mmaY100
Etsi yhtälön x8 −36x7 +546x6 −4536x5 +22449x4 −67284x3 +118124x2 −109584x+40320 = 0
välillä [5.5, 6.5] oleva juuri. Muuta x7:n kerroin luvuksi −36.001 ja katso, mikä
vaikutus sillä on juureen.
Vihje: Maple: fsolve Matlab: roots Mathematica: ...
Ratkaisu: Ratkaisutiedostossa lisää variaatioita ja analyysiä tehtävään.
Avainsanat: Polynomin juuret, numeriikka, häiriöalttius, ill-conditioned
Tehtava
Ratkaisu
PDF ratkaisusta
- 8.
Ratkaise yhtälöryhmä
käyttäen Newtonin menetelmää. Tutki suppenemista eri alkuarvoilla.
Vihje: Tehtävässä tarvittava Jacobin matriisi kannattaa (ehkä) tehdä spesifinä funktiona.
Tehtava
Ratkaisu
- 9.
Maple,Matlab,[Mathematica] ( H2T8)
Newtonin menetelmän askel voidaan määritellä vähäeleisesti Maplelle.
Määritellään iterointifunktio:
> N := x -> evalf(x - f(x)/D(f)(x));
Iterointi tapahtuu joko for-silmukalla tai iterointioperaattorilla N@@k. (For silmukka lienee
tehokkaampi, kun halutaan muodostaa koko iterointijono.) Ratkaise seuraavat
yhtälöt Newtonin menetelmällä. Sopivat alkuarvot vaikkapa kuvan avulla.
- x cos x = sin x + 1, 0 < x < 2π
- x2 + sin x = 8
Vihje: Matlab-tehtävässä on antoisinta tehdä Maple-Matlab-työnjako: Muodostetaan ensin
iteraatiokaava Maplella symbolisessa muodossa (jätetään yllä N-kaavasta evalf pois) ja siirretään
kaava Matlabiin (lprint, Matlabissa vectorize lisää pisteet.
Kaikkein kätevintä lienee käyttää Symbolic Toolboxia symboliseen derivointiin, jos se on
käytettävissä.
Avainsanat: Epälineaarinen yhtälö, Newtonin menetelmä, iteraatio
Tehtava
PDF ratkaisusta
- 10.
Maple , Matlab ( H2T9)
Tarkastellaan väestönkasvumallia
jossa otetaan huomioon biologisen lisääntymisen ohella myös maahanmuutto, jonka
oletetaan tapahtuvan vakionopeudella v yksilöä vuodessa (netto). Oletetaan, että
tietty populaatio on alunperin 10 6 yksilöä, 435000 yksilöä muuttaa ”maahan” 1.
vuoden aikana ja populaatiossa on 1564000 yksilöä vuoden lopulla. Määritä luku λ
Käytä tätä λ:n arvoa ennustamaan populaation koko toisen vuoden lopussa, kun
oletetaan maahanmuuttovauhdin säilyvän vakiona.
Vihje: Maple: fsolve, Matlab: fzero
Avainsanat: Epälineaarinen yhtälö, väestönkasvumalli, epalineaarinen yhtalo,
vaestonkasvumalli.
Tehtava
Ratkaisu
PDF ratkaisusta
- 11.
Newtonin menetelmä lienee kaikista funktion juuren etsimiseen käytetyistä
menetelmistä kuuluisin. Toisin kuin aikaisemmin esittelemämme menetelmät, se ei
edellytä tietoa juuren sijainnista, mutta toisaalta se ei aina välttämättä suppene
kohti juurta.
Newtonin iteraatioilla tarkasteltavilta funktioilta odotetaan jatkuvuutta ja derivoituvuutta.
Newtonin iteraatiokaava on
Käyttäen aikaisemmin kirjoittamaasi numeerista derivointikaavaa, ja etsi funktion
f(x) = esin(x2)e−x2 sin(x2) − nollakohtia käyttäen Newtonin menetelmää. Käytä
alkuarvoina ainakin arvoja 0.5, 12.2 ja 2.2. Kuten huomataan, alkuarvoilla on todella
dramaattinen vaikutus siihen, kuinka ja minne menetelmä suppenee.
Kokeile sitten ratkaista funktion g(x) = x3 − 2x + 2 nollakohta Newtonin menetelmällä
käyttäen alkuarvauksena x0 = 1. Mitä tapahtuu? (vinkki: Ctrl + C lopettaa ikuisen
luupin.)
Viimeisenä kokeile ratkaista funktion h(x) = 1 −x2 nollakohta Newtonin menetelmällä
käyttäen alkuarvauksena x0 = 0. Mitä tapahtuu?
Vihje: Numeerisissa tapauksissa etsitään nollakohtaa jollain sopivalla toleranssilla. Derivaattana
kannattaa käyttää määritelmän sijasta 3-pisteen sääntöä:
kun h on pieni.
Tehtava
- 12.
Kun z = x + iy ja −2 ≤ x,y ≤ 2, eksponenttifunktion z↦ exp( z) kuvaajan voi piirtää
seuraavasti:
t = -2:0.2:2;
[x y] = meshgrid(t,t);
z = x+i*y;
r = exp(z)
mesh(real(r));
Imaginääriosan saa piirrettyä komennolla mesh(imag(r)). Tee vastaavat graafit
seuraavista kuvauksista edellämainitulla välillä.
-
1.
- z↦ log(z)
-
2.
- z↦z2
-
3.
- z↦z + 1∕z
Vihje:
Tehtava
- 13.
Määritellään
Näytä että jokaiselle kiinnitettylle arvolle x luku Sn(x) lähestyy nollaa, kun n →∞,
ja etsi Sn(x):n ääriarvot x:n suhteen. Piirrä funktio Sn(x) välillä [−2, 2] kun
n = 2, 4, 6, 8, 10.
Vihje: Ohjelman suorituksen voi keskeyttää kesken skriptin komennolla pause. Välin
voi määritellä joko vektorinotaatiolla -2:0.02:2 tai komennolla linspace(-2,2,100).
Tehtava
|
Työkaluja
|