MMM-Tehtäväportaali

 

 

Menu:

Mathematica harjoitustehtäviä liittyen lausekkeiden kanssa toimimiseen Mathematicassa.

Käytön idea: kun löydät mieleisesi tehtävän, sen alapuolella on linkki tex-tiedostoon. Lataa tiedosto, ja liitä se Mathematica-pääsivulta löytyvään harjoituspohjaan.

  • 1. 
    Sievennä lauseke -----x-−-1-------
(1 −  1√-)(1 + √1)
      x       x. Vihje:  Sopivia Mathematican funktioita ovat Simplify ja FullSimplify.

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 2. 
    Talleta lauseke (a + b)10 jollekin nimelle ja kehitä se. Jaa tulos tekijöihin, jolloin palataan alkuperäiseen lausekkeeseen. Vihje:  Tarvittavat Mathematican funktiot ovat Expand ja Factor. Näiden argumenttina oleva lauseke voi olla joko hakasuluissa tai komento voidaan kirjoittaa sen perään: Expand[lauseke] tai lauseke//Expand.

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 3. 
    Jaa tekijöihin kahden muuttujan polynomi
      5     4     3 2     2 3    3      2 2      3     4
x  + 2x  y − x y −  2x y  − x y − 2x y  + xy  + 2y .

    Kehitä saamasi tulos, jolloin palataan alkuperäiseen lausekkeeseen. Vihje:  Tarvittavat Mathematican funktiot ovat Expand ja Factor.

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 4. 
    Tutki, mikä lauseke on tekijänä lausekkeessa an bn riippumatta eksponentin n arvosta. Missä tapauksessa lausekkeella an + bn on vastaavanlainen tekijä? Supista lausekkeet
     15    15        15    15
a--−--b--  ja   a--+--b--.
 a7 − b7        a7 + b7

    Mitä säännönmukaisuutta tuloksen osoittajassa ja nimittäjässä on? Vihje:  Tekijöihin jako: Factor. Supistaminen: Cancel. Kokeile luvulle n erikseen eri arvoja. (Miksi yleistä symbolia n ei voida käyttää?) Kokeilut voidaan laskea myös yhteen taulukkoon käyttämällä komentoa Table; tulostuksen saa hieman selkeämpään muotoon kirjoittamalla komennon jälkeen //TableForm.

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 5. 
    Lavenna murtolauseke
        a + x
√a-+--x −-√x--

    siten, että juuria ei esiinny nimittäjässä. Vihje:  Murtolausekkeesta voi poimia osoittajan funktiolla Numerator ja nimittäjän lausekkeella Denominator. Kokeile myös, mitä tapahtuu, kun murtolausekkeeseen kohdistetaan peräkkäin funktiot Apart ja Simplify. Mitä nämä periaatteessa tekevät?

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 6. 
    Hajota seuraavat rationaalilausekket osamurtokehitelmiksi, joissa nimittäjät ovat ensimmäistä astetta tai ensimmäisen asteen polynomin potensseja:
    -----x-----,     -----2x-+--7-----.
x2 + 5x + 6      x3 + 3x2 + 3x + 1

    Miten päästään takaisin alkuperäiseen lausekkeeseen? Vihje:  Sopivia funktioita: Apart, Together, Simplify, Expand ...

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 7. 
    Muodosta osamurtokehitelmä lausekkeelle
    4696 − 11076x  + 11290x2 − 6227x3 +  1687x4 + 180x5 − 364x6  + 156x7 − 36x8 + 4x9
--------------------------------2---------3-------4-------5------6------7---------.
         − 1152 + 2496x −  2528x  + 1616x  − 704x  +  208x  − 40x  + 4x

    Lisää tämän jälkeen lausekkeen nimittäjään 1 ja muodosta osamurtokehitelmä uudelleen. Miksi toisessa tapauksessa onnistutaan, toisessa ei? Vihje:  Sopivia funktioita: Apart, Numerator, Denominator. Myös hiirtä ja paletteja voi hyödyntää.

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 8. 
    Tutki, tarkoittaako Mathematican merkintä x^x^x samaa kuin (x^x)^x vai samaa kuin x^(x^x). Sievennä, derivoi ja integroi kumpikin vaihtoehto. Vihje:  Yksinkertainen sievennyskomento Simplify ei auta, koska Mathematica varautuu mahdollisuuteen, että muuttujat ovat kompleksisia, jolloin tavanomaiset laskusäännöt eivät rajoituksitta olekaan voimassa. Kokeile tämän johdosta seuraavia sievennyskäskyjä: Simplify[..., x>0] ja PowerExpand. Katso näiden komentojen tarkempaa selitystä Mathematican dokumentaatiosta.

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 9. 
    Talleta lauseke ---xy---
x2 + y2 jollekin nimelle ja laske sen arvo, kun a) x = 2, y = 3, b) x = 5, y = π. Laske sekä tarkka arvo, että 50-desimaalinen likiarvo. Ovatko desimaaliesitykset jaksollisia? Vihje:  Käytä arvojen sijoittamisessa korvausoperaattoria /. (eli ReplaceAll). Likiarvojen laskeminen funktiolla N.

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 10. 
    Mathematicassa on kaksi operaattoria, joilla muuttujalle annetaan arvo: joko = (eli Set) tai := (eli SetDelayed). Yritä selvittää näiden ero antamalla syötteet
    a=RandomInteger[–1,100˝]  
    Table[a,–10˝]  
    b:=RandomInteger[–1,100˝]  
    Table[b,–10˝]

    Vihje:  Delay = viivästää. Katso myös Mathematican dokumentaatiota. Funktio RandomInteger generoi satunnaisia kokonaislukuja; sen argumenttina annetaan väli, jolta luvut otetaan.

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 11. 
    Kaksi matkapuhelinmastoa näkyy paikkaan, jonka etäisyys toisesta mastosta on 5,27 km ja toisesta 3,16 km. Tähtäyssuunnat mastoihin muodostavat 7250suuruisen kulman. Kuinka etäällä mastot ovat toisistaan? Etäisyydet mitataan vaakasuorasti, eikä maaston mahdollisia korkeuseroja oteta huomioon. Vihje:  Trigonometristen funktioiden argumentit ilmoitetaan Mathematicassa radiaaneissa. Radiaanien ja asteiden välinen muunnoskerroin on valmiina nimellä Degree (katso dokumentaatiota), mutta kertoimen voi tietenkin muodostaa itsekin. Muista: Funktioiden nimet kirjoitetaan isolla alkukirjaimella, argumentit annetaan hakasuluissa.

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 12. 
    Tutki lausekkeiden
    a)
    ∘ --------
  (x − 2)2
    b)
    sin(5x)
    c)
    sin(x + y)
    d)
    exp(ix) + exp(ix)
    e)
    cos(arccos x)
    f)
    arccos(cos x)
    g)
    exp(ln x)
    h)
    ln(exp x)

    sieventämistä. Mitä näistä pitäisi tulla? Mitä Mathematica antaa ja millä komennolla? Mitä symbolisen ohjelman itse asiassa pitäisi antaa vastaukseksi, kun muuttujaa x ei ole millään tavoin rajoitettu? Vihje:  Mathematicalla on useita erilaisia Expand- ja Simplify-tyyppisiä komentoja. Muista: Funktioiden nimet kirjoitetaan isolla alkukirjaimella, joskus isoja kirjaimia voi olla muuallakin: ArcCos. Argumentit annetaan hakasuluissa. Imaginaariyksikkö on I.

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 13. 
    Muokkaa muotoa sin(nx), cos(nx), sin nx, cos nx olevia trigonometrisia lausekkeita erilaisiin muotoihin, kun n on jokin luonnollinen luku (ei symboli). Vihje:  Käytä funktioita TrigFactor, TrigExpand, TrigReduce, ExpToTrig, TrigToExp. Muista: Funktioiden nimet kirjoitetaan isolla alkukirjaimella, argumentit annetaan hakasuluissa.

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 14. 
    Sievennä Tšebyševin polynomin lauseke Tn(x) = cos(n arccos x), n , muotoon, josta ilmenee, millainen polynomi on kyseessä. Mikä on polynomin asteluku? Vihje:  Anna symbolille n numeerisia arvoja. Funktioiden nimet ovat Cos ja ArcCos.

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 15. 
    Astetta n olevan polynomin nollakohdat olkoot x1,x2,,xn. Määritä polynomien kertoimien lausekkeet nollakohtien funktioina tapauksissa n = 2, 3, 4, 5. Miten polynomin kertoimet riippuvat nollakohdista? Vihje:  Polynomi voidaan nollakohtien avulla kirjoittaa tulomuotoon
    (x− x1)(x− x2)...(x − xn).

    Hyödyllisiä funktioita ovat mm. Product, Collect, Coefficient, CoefficientList. Jos listassa on pitkiä alkioita, sen voi tulostaa selkeämpään muotoon kirjoittamalla perään //TableForm.

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 16. 
    Yhtälöt
    x =  cosu(a + bcos v), y = sin u(a + bcos v), z = bsin v

    esittävät erästä pintaa, ympyrärengasta eli torusta parametrimuodossa. Etsi torukselle muotoa F(x,y,z) = 0 oleva yhtälö eliminoimalla eo. yhtälöistä parametrit u ja v. Vihje:  Eliminointi voidaan tehdä funktiolla Eliminate; ks. käyttöohjeet Mathematican dokumentaatiosta. Se toimii kuitenkin parhaiten polynomeihin sovellettuna ja trigonometristen funktioiden tapauksessa ei kovin yksinkertaisiin lausekkeisiin päästä. Vaikeudet voidaan välttää seuraavasti: Eliminoitaviksi muuttujiksi otetaan parametrien u ja v sijasta niiden sinit ja kosinit, ts. tehdään eo. yhtälöihin sijoitus Sin[u]->u1, Cos[u]->u2, Sin[v]->v1, Cos[v]->v2. Uusien muuttujien välillä ovat voimassa yhtälöt u1^2 + u2^2 == 1 ja v1^2 + v2^2 == 1, jolloin on kaikkiaan viisi yhtälöä, joista on eliminoitava neljä muuttujaa.

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 17. 
    Yhtälö
     4    4    4     2 2     2 2     2 2      2       2     2
x  + y  + z +  2x y  + 2y z  + 2z x  − 10x  − 10y  + 6z  + 9 = 0

    esittää erästä kolmiulotteisen avaruuden pintaa, ympyrärengasta eli torusta. Jos pintaa leikataan tasolla z = 0 tai tasolla x = 0, saadaan leikkauskäyräksi kaksi ympyrää. Määritä näiden yhtälöt. Vihje:  Muodosta leikkauskäyrien yhtälöt sijoittamalla vuorollaan arvot x = 0 ja z = 0 annettuun yhtälöön. Jaa yhtälön vasen puoli tekijöihin! (Mahdollista tarvetta varten: Jos yhtälön nimenä on yht, niin yht[[1]] on sen vasen ja yht[[2]] oikea puoli.)

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 18. 
    Ratkaise yhtälöiden
    1.
    168x = 195
    2.
    x2 2x 4 = 0
    3.
    x3 x2 + x 21 = 0
    4.
    (a b)x2 + ax + b = 0

    kaikki juuret. Sijoita juuret takaisin yhtälöihin ja tutki, toteutuvatko yhtälöt. Vihje:  Talleta ensin yhtälö jollekin nimelle. Yhtälöissä käytetään yhtäläisyysmerkkinä ==. Yhtälön ratkaiseminen Solve-funktiolla tuottaa ratkaisut ns. korvaussääntöjen muodossa. Näiden avulla voidaan saadut juuret helposti sijoittaa mihin tahansa lausekkeeseen, esimerkiksi yhtälöön: yhtalo/.korvaus. Tässä /. on lyhennemerkintä Mathematican funktiolle ReplaceAll.

    Tehtava

Työkaluja