|
Mathematica harjoitustehtäviä liittyen lausekkeiden kanssa toimimiseen Mathematicassa.
Käytön idea: kun löydät mieleisesi tehtävän, sen alapuolella on linkki tex-tiedostoon. Lataa
tiedosto, ja liitä se Mathematica-pääsivulta löytyvään harjoituspohjaan.
- 1.
Sievennä lauseke .
Vihje: Sopivia Mathematican funktioita ovat Simplify ja FullSimplify.
Tehtava
Ratkaisu
- 2.
Talleta lauseke (a + b)10 jollekin nimelle ja kehitä se. Jaa tulos tekijöihin, jolloin
palataan alkuperäiseen lausekkeeseen.
Vihje: Tarvittavat Mathematican funktiot ovat Expand ja Factor. Näiden argumenttina oleva lauseke
voi olla joko hakasuluissa tai komento voidaan kirjoittaa sen perään: Expand[lauseke] tai
lauseke//Expand.
Tehtava
Ratkaisu
- 3.
Jaa tekijöihin kahden muuttujan polynomi
Kehitä saamasi tulos, jolloin palataan alkuperäiseen lausekkeeseen.
Vihje: Tarvittavat Mathematican funktiot ovat Expand ja Factor.
Tehtava
Ratkaisu
- 4.
Tutki, mikä lauseke on tekijänä lausekkeessa an − bn riippumatta eksponentin n ∈ ℕ
arvosta. Missä tapauksessa lausekkeella an + bn on vastaavanlainen tekijä? Supista
lausekkeet
Mitä säännönmukaisuutta tuloksen osoittajassa ja nimittäjässä on?
Vihje: Tekijöihin jako: Factor. Supistaminen: Cancel. Kokeile luvulle n erikseen eri arvoja. (Miksi
yleistä symbolia n ei voida käyttää?) Kokeilut voidaan laskea myös yhteen taulukkoon
käyttämällä komentoa Table; tulostuksen saa hieman selkeämpään muotoon kirjoittamalla
komennon jälkeen //TableForm.
Tehtava
Ratkaisu
- 5.
Lavenna murtolauseke
siten, että juuria ei esiinny nimittäjässä.
Vihje: Murtolausekkeesta voi poimia osoittajan funktiolla Numerator ja nimittäjän lausekkeella
Denominator. Kokeile myös, mitä tapahtuu, kun murtolausekkeeseen kohdistetaan peräkkäin
funktiot Apart ja Simplify. Mitä nämä periaatteessa tekevät?
Tehtava
Ratkaisu
- 6.
Hajota seuraavat rationaalilausekket osamurtokehitelmiksi, joissa nimittäjät ovat
ensimmäistä astetta tai ensimmäisen asteen polynomin potensseja:
Miten päästään takaisin alkuperäiseen lausekkeeseen?
Vihje: Sopivia funktioita: Apart, Together, Simplify, Expand ...
Tehtava
Ratkaisu
- 7.
Muodosta osamurtokehitelmä lausekkeelle
Lisää tämän jälkeen lausekkeen nimittäjään 1 ja muodosta osamurtokehitelmä
uudelleen. Miksi toisessa tapauksessa onnistutaan, toisessa ei?
Vihje: Sopivia funktioita: Apart, Numerator, Denominator. Myös hiirtä ja paletteja voi
hyödyntää.
Tehtava
Ratkaisu
- 8.
Tutki, tarkoittaako Mathematican merkintä x^x^x samaa kuin (x^x)^x vai samaa kuin
x^(x^x). Sievennä, derivoi ja integroi kumpikin vaihtoehto.
Vihje: Yksinkertainen sievennyskomento Simplify ei auta, koska Mathematica varautuu
mahdollisuuteen, että muuttujat ovat kompleksisia, jolloin tavanomaiset laskusäännöt eivät
rajoituksitta olekaan voimassa. Kokeile tämän johdosta seuraavia sievennyskäskyjä: Simplify[...,
x>0] ja PowerExpand. Katso näiden komentojen tarkempaa selitystä Mathematican dokumentaatiosta.
Tehtava
Ratkaisu
- 9.
Talleta lauseke jollekin nimelle ja laske sen arvo, kun a) x = 2, y = 3, b) x = −5,
y = π. Laske sekä tarkka arvo, että 50-desimaalinen likiarvo. Ovatko desimaaliesitykset
jaksollisia?
Vihje: Käytä arvojen sijoittamisessa korvausoperaattoria /. (eli ReplaceAll). Likiarvojen
laskeminen funktiolla N.
Tehtava
Ratkaisu
- 10.
Mathematicassa on kaksi operaattoria, joilla muuttujalle annetaan arvo: joko
= (eli Set) tai := (eli SetDelayed). Yritä selvittää näiden ero antamalla
syötteet
a=RandomInteger[–1,100˝]
Table[a,–10˝]
b:=RandomInteger[–1,100˝]
Table[b,–10˝]
Vihje: Delay = viivästää. Katso myös Mathematican dokumentaatiota. Funktio RandomInteger
generoi satunnaisia kokonaislukuja; sen argumenttina annetaan väli, jolta luvut otetaan.
Tehtava
Ratkaisu
- 11.
Kaksi matkapuhelinmastoa näkyy paikkaan, jonka etäisyys toisesta mastosta
on 5,27 km ja toisesta 3,16 km. Tähtäyssuunnat mastoihin muodostavat
72∘50′ suuruisen kulman. Kuinka etäällä mastot ovat toisistaan? Etäisyydet
mitataan vaakasuorasti, eikä maaston mahdollisia korkeuseroja oteta huomioon.
Vihje: Trigonometristen funktioiden argumentit ilmoitetaan Mathematicassa radiaaneissa. Radiaanien
ja asteiden välinen muunnoskerroin on valmiina nimellä Degree (katso dokumentaatiota), mutta
kertoimen voi tietenkin muodostaa itsekin. Muista: Funktioiden nimet kirjoitetaan isolla alkukirjaimella,
argumentit annetaan hakasuluissa.
Tehtava
Ratkaisu
- 12.
Tutki lausekkeiden
-
a)
-
-
b)
- sin(5x)
-
c)
- sin(x + y)
-
d)
- exp(ix) + exp(−ix)
-
e)
- cos(arccos x)
-
f)
- arccos(cos x)
-
g)
- exp(ln x)
-
h)
- ln(exp x)
sieventämistä. Mitä näistä pitäisi tulla? Mitä Mathematica antaa ja millä
komennolla? Mitä symbolisen ohjelman itse asiassa pitäisi antaa vastaukseksi, kun
muuttujaa x ei ole millään tavoin rajoitettu?
Vihje: Mathematicalla on useita erilaisia Expand- ja Simplify-tyyppisiä komentoja. Muista:
Funktioiden nimet kirjoitetaan isolla alkukirjaimella, joskus isoja kirjaimia voi olla muuallakin: ArcCos.
Argumentit annetaan hakasuluissa. Imaginaariyksikkö on I.
Tehtava
Ratkaisu
- 13.
Muokkaa muotoa sin(nx), cos(nx), sin nx, cos nx olevia trigonometrisia lausekkeita
erilaisiin muotoihin, kun n on jokin luonnollinen luku (ei symboli).
Vihje: Käytä funktioita TrigFactor, TrigExpand, TrigReduce, ExpToTrig, TrigToExp.
Muista: Funktioiden nimet kirjoitetaan isolla alkukirjaimella, argumentit annetaan hakasuluissa.
Tehtava
Ratkaisu
- 14.
Sievennä Tšebyševin polynomin lauseke Tn(x) = cos(n arccos x), n ∈ ℕ, muotoon,
josta ilmenee, millainen polynomi on kyseessä. Mikä on polynomin asteluku?
Vihje: Anna symbolille n numeerisia arvoja. Funktioiden nimet ovat Cos ja ArcCos.
Tehtava
Ratkaisu
- 15.
Astetta n olevan polynomin nollakohdat olkoot x1,x2,…,xn. Määritä polynomien
kertoimien lausekkeet nollakohtien funktioina tapauksissa n = 2 , 3 , 4 , 5. Miten polynomin
kertoimet riippuvat nollakohdista?
Vihje: Polynomi voidaan nollakohtien avulla kirjoittaa tulomuotoon
Hyödyllisiä funktioita ovat mm. Product, Collect, Coefficient, CoefficientList. Jos listassa on
pitkiä alkioita, sen voi tulostaa selkeämpään muotoon kirjoittamalla perään //TableForm.
Tehtava
Ratkaisu
- 16.
Yhtälöt
esittävät erästä pintaa, ympyrärengasta eli torusta parametrimuodossa. Etsi
torukselle muotoa F(x,y,z) = 0 oleva yhtälö eliminoimalla eo. yhtälöistä
parametrit u ja v.
Vihje: Eliminointi voidaan tehdä funktiolla Eliminate; ks. käyttöohjeet Mathematican
dokumentaatiosta. Se toimii kuitenkin parhaiten polynomeihin sovellettuna ja trigonometristen
funktioiden tapauksessa ei kovin yksinkertaisiin lausekkeisiin päästä. Vaikeudet voidaan välttää
seuraavasti: Eliminoitaviksi muuttujiksi otetaan parametrien u ja v sijasta niiden sinit ja
kosinit, ts. tehdään eo. yhtälöihin sijoitus Sin[u]->u1, Cos[u]->u2, Sin[v]->v1,
Cos[v]->v2. Uusien muuttujien välillä ovat voimassa yhtälöt u1^2 + u2^2 == 1 ja v1^2 +
v2^2 == 1, jolloin on kaikkiaan viisi yhtälöä, joista on eliminoitava neljä muuttujaa.
Tehtava
Ratkaisu
- 17.
Yhtälö
esittää erästä kolmiulotteisen avaruuden pintaa, ympyrärengasta eli torusta. Jos
pintaa leikataan tasolla z = 0 tai tasolla x = 0, saadaan leikkauskäyräksi kaksi
ympyrää. Määritä näiden yhtälöt.
Vihje: Muodosta leikkauskäyrien yhtälöt sijoittamalla vuorollaan arvot x = 0 ja z = 0 annettuun
yhtälöön. Jaa yhtälön vasen puoli tekijöihin! (Mahdollista tarvetta varten: Jos yhtälön nimenä
on yht, niin yht[[1]] on sen vasen ja yht[[2]] oikea puoli.)
Tehtava
Ratkaisu
- 18.
Ratkaise yhtälöiden
-
1.
- 168x = 195
-
2.
- x2 − 2x − 4 = 0
-
3.
- x3 − x2 + x − 21 = 0
-
4.
- (a − b)x2 + ax + b = 0
kaikki juuret. Sijoita juuret takaisin yhtälöihin ja tutki, toteutuvatko yhtälöt.
Vihje: Talleta ensin yhtälö jollekin nimelle. Yhtälöissä käytetään yhtäläisyysmerkkinä ==.
Yhtälön ratkaiseminen Solve-funktiolla tuottaa ratkaisut ns. korvaussääntöjen muodossa. Näiden
avulla voidaan saadut juuret helposti sijoittaa mihin tahansa lausekkeeseen, esimerkiksi yhtälöön:
yhtalo/.korvaus. Tässä /. on lyhennemerkintä Mathematican funktiolle ReplaceAll.
Tehtava
|
Työkaluja
|