MMM-Tehtäväportaali

 

 

Menu:

Mathematica harjoitustehtäviä liittyen grafiikkaan Mathematicassa.

Käytön idea: kun löydät mieleisesi tehtävän, sen alapuolella on linkki tex-tiedostoon. Lataa tiedosto, ja liitä se Mathematica-pääsivulta löytyvään harjoituspohjaan.

  • 1. 
    Piirrä funktion f(x) = sin 8x + sin 9x kuvaaja. Vihje:  Tarkastele riittävän pitkää väliä. Muista merkinnät: Sin[8x] etc.

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 2. 
    Tšebyševin polynomit määritellään välillä [1, 1] lausekkeella
    Tn(x) = cos(n arccosx).

    Piirrä polynomien Tn, n = 1, 2, 3, 4, 5, kuvaajat samaan kuvioon. Vihje:  Funktioiden nimet ovat Cos ja ArcCos. Yhden kuvaajan piirtäminen tapahtuu komennolla Plot. Useita kuvioita voidaan yhdistää samaan kuvaan komennolla Show, jonka argumenteiksi kirjoitetaan ne tulosteet, jotka kuvaan halutaan. Esimerkiksi %k viittaa tulosteeseen Out[k]; tulosteille voidaan antaa myös nimet kirjoittamalla esimerkiksi kuva1 = Plot ....

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 3. 
    Piirrä sini- ja kosinifunktioiden kuvaajat muotoa
    Plot[–Sin[x], Cos[x]˝, –x, -Pi, Pi˝,  
       PlotStyle -> –Dashing[–0.1, 0.05˝],  
       –RGBColor[0.9, 0.3, 0.4], Thickness[0.05]˝˝

    olevalla käskyllä. Selvitä kokeilemalla, mitä PlotStyle-määrittelyssä olevat parametrit vaikuttavat kuvioon. Vihje:  Parametrien merkitystä voi tutkia myös Mathematican dokumentaatiosta.

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 4. 
    Piirrä funtion f(x,y) = x3 2y2 5x kuvaaja. Vihje:  Tarvittava funktio on Plot3D. Tutki piirtoalueen vaikutusta kuvaajan muotoon ja miten siihen voidaan vaikuttaa Plot3D-funktion optioilla (katso dokumentaatiota).

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 5. 
    Piirrä funtion f(x,y) = arctan(y∕x) kuvaaja. Miten funktio käyttäytyy origon ympäristössä? Miten funktion voi luonnehtia geometrisesti? Onko funktio jatkuva? Vihje:  Funktionnimi on ArcTan. Tarvittava piirtokomento on Plot3D. Piirtotiheyttä voi säätää optioilla PlotPoints tai Mesh. Muitakin optioita on; katso dokumentaatiota.

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 6. 
    Piirrä kahden muuttujan funktion f(x,y) = log yx kuvaaja. Vihje:  Mieti ensin, millä arvoilla (x,y) funktio on määritelty.

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 7. 
    Piirrä kahden muuttujan funktion
              --xy----
f(x,y) =  x2 + y2

    kuvaaja. Tutki erityisesti funktion käyttäytymistä origon ympäristössä. Vihje:  Käytä sekä funktiota Plot3D että funktiota ParametricPlot3D. Voitaisiinko käyttää napakoordinaatteja? Säädä piirtotiheys sopivaksi optiolla Mesh. Onko funktio jatkuva origossa?

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 8. 
    Piirrä kuva parametrimuodossa annetusta käyrästä
    x = cospt,  y =  sin qt,  t ∈ [0,2π ],

    missä p ja q ovat numeerisia kertoimia. Vihje:  Piirtokomento on ParametricPlot. Tutki myös, mitä optioita on käytettävissä.

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 9. 
    Piirrä kuva parametrimuodossa annetusta kolmiulotteisen avaruuden käyrästä
    x = (5 + cos25t) cos5t, y = (5 + cos25t)sin5t, z = sin25t,   t ∈ [0,2π].

    Vihje:  Piirtokomento on ParametricPlot3D.

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 10. 
    Piirrä kuva parametrimuodossa annetusta kolmiulotteisen avaruuden käyrästä
    x = (2π − t)cos 5t, y = (2π − t) sin 5t, z = t,   t ∈ [0,2π ].

    Muunna parametriesitystä siten, että saadaan pallopinnalla sijaitseva spiraali. Vihje:  Piirtokomento on ParametricPlot3D. Piirtotiheyttä voidaan säätää optiolla PlotPoints. Pallopinta: Jos korkeuskoordinaatti on t, niin mikä on pisteen etäisyys z-akselista?

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 11. 
    Piirrä alueessa 25 x 25, 5 y 5 kuva käyrästä x = y3 5y2 + y + 3 ParametricPlot-funktiolla. Vihje:  Valitse parametriksi y.

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 12. 
    Piirrä kuva parametrimuodossa annetusta ruuvipinnasta:
              -v-                    v--            1-
x = u(1 − 8π )cos v,  y = u (1 −  8π) sin v,  z = 5 (v − u),  u ∈ [0,3], v ∈ [0,8π ].

    Vihje:  Piirtokomento on ParametricPlot3D. Säädä piirtotiheys sopivaksi, niin että saat kauniin kuvan: optio Mesh.

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 13. 
    Tutki, millaista pintaa esittää parametriesitys
    x = cosu (a + b cosv), y = sinu(a + b cosv), z = bsinv,   u ∈ [0,2π], v ∈ [0,2π ].

    Anna piirtämistä varten vakioille a ja b erilaisia (positiivisia) arvoja ja yritä päästä selville niiden merkityksestä. Tutki myös, mitä vaikuttaa optio Shading->False grafiikkakomennossa. Vihje:  Tutki aluksi tapausta, missä a∕b = 2, mutta tarkastele myös tapauksia, missä suhde on = 1 tai < 1. Pinnasta saa paremman käsityksen piirtämällä siitä vain sopivan osan, ts. rajoittamalla parametrien u ja v vaihteluväliä.

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 14. 
    Yhtälö
     4    4    4     2 2     2 2     2 2      2       2     2
x  + y  + z +  2x y  + 2y z  + 2z x  − 10x  − 10y  + 6z  + 9 = 0

    esittää erästä kolmiulotteisen avaruuden pintaa, ympyrärengasta eli torusta. Leikkaa pintaa tasoilla z = vakio ja x = vakio ja piirrä leikkauskäyrät. Vihje:  Käytä funktiota ContourPlot. Millaisia kvalitatiivisesti erilaisia leikkauskäyriä syntyy?

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 15. 
    Piirrä origon ympäristössä kuva käyrästä y4 + y2 + xy = x3 x. Vihje:  Käytä funktiota ContourPlot.

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 16. 
    Tutki, mitkä xy-tason pisteet toteuttavat yhtälön log yx = log xy. Piirrä kuvio. Vihje:  Logaritmifunktio on Log. Käytä funktiota ContourPlot. Mieti, mikä on sopiva piirtoalue.

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 17. 
    Tutki funktion f(x,y) = yx käyttäytymistä origon ympäristössä alueessa x > 0, y > 0: piirrä kuvaaja (pinta), piirrä pinnan korkeuskäyriä, laske funktion arvoja. Mitä arvoja funktio saa origoa lähestyttäessä? Vihje:  Tarvittavia funktioita: Plot3D, ContourPlot. Jälkimmäiselle voidaan antaa optiona korkeuskäyrien korkeudet muodossa Contours->{...}, missä korkeudet luetellaan listassa; katso myös dokumentaatiota.

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 18. 
    Piirrä origon ympäristössä kuva pinnasta x3 + y3 + z3 x2yz xy2z xyz2 1 = 0. Vihje:  Käytä funktiota ContourPlot3D. Katso dokumentaatiosta käyttöohjeet.

    Tehtava

    Ratkaisu

Työkaluja