|
Mathematica harjoitustehtäviä liittyen funktioihin ja funktionkäsittelyyn Mathematicassa.
Käytön idea: kun löydät mieleisesi tehtävän, sen alapuolella on linkki tex-tiedostoon. Lataa
tiedosto, ja liitä se Mathematica-pääsivulta löytyvään harjoituspohjaan.
- 1.
Mathematica tuntee ns. gammafunktion Γ(x) nimellä Gamma. Piirrä tämän ja sen
derivaatan kuvaajat. Mitä arvoja funktio saa positiivisilla kokonaislukuarvoilla?
Vihje: Skaalaa graafinen esitys siten, että kuvaajien luonne tulee selkeästi näkyviin.
Funktion arvot positiivisilla kokonaislukuarvoilla voidaan ilmaista yksinkertaisesti. Miten?
Tehtava
Ratkaisu
- 2.
Määrittele Mathematicalle funktio
Laske funktion arvo pisteissä x = −1, 0, 1. Piirrä kuvaaja. Mikä funktion raja-arvo
origossa? Onko tämä olemassa? Onko funktio jatkuva?
Vihje: Funktion määrittelyssä voidaan tässä tapauksessa käyttää yhtä hyvin merkkiä = tai
merkkiä :=. Raja-arvo voidaan laskea myös funktiolla Limit; katso ohjeet dokumentaatiosta ja kokeile.
Tehtava
Ratkaisu
- 3.
Piirrä funktion log x2 kuvaaja ja laske sen derivaatta. Voidaanko funktio lausua
luonnollisen logaritmin avulla?
Vihje: Mathematican funktio Log on luonnollinen logaritmi. log kx merkitään Log[k,x]. Ks. myös
dokumentaatiota.
Tehtava
Ratkaisu
- 4.
Mathematicassa on kaksi operaattoria, joita voidaan käyttää funktioiden
määrittelyssä: joko = (eli Set) tai := (eli SetDelayed). Yritä selvittää näiden ero
määrittelemällä kaksi funktiota seuraavasti:
f[x˙,n˙]= Expand[x^n]
g[x˙,n˙]:= Expand[x^n]
Laske tämän jälkeen f[a+b,5] ja g[a+b,5].
Vihje: Delay = viivästää. Katso myös Mathematican dokumentaatiota. Huomaa, että Expand
ei kehitä (ei voi kehittää) lauseketta, jonka eksponentti on symboli: Kokeile g[a+b,n].
Tehtava
Ratkaisu
- 5.
Määrittele Mathematicalle funktio
Laske taulukko sen arvoista välillä [0, 5] askelena 0.1. Piirrä funktion derivaatan
kuvaaja. Muodosta integraalifunktio ja piirrä sen kuvaaja. Laske funktion integraali yli
reaaliakselin. Katso, mitä antaa komento ?f.
Vihje: Funktio voidaan määritellä kahdella tavalla: antamalla muotoa f[x_]:= ... oleva
määrittely tai käyttämällä funktiota Function. Kokeile molempia. Taulukko muodostetaan
funktiolla Table, derivaatta saadaan esimerkiksi kirjoittamalla f’[x]. Integroinnissa tarvittava
äärettömyys on Infinity; se voidaan myös valita paletista.
Tehtava
Ratkaisu
- 6.
Määrittele Mathematicalle funktio
ja laske sen arvot pisteissä x = π∕2, x = 1 ja x = 0. Määrittele tämän jälkeen
funktio origossa siten, että siitä tulee jatkuva. Laske uudelleen sen arvo origossa.
Piirrä funktion kuvaaja ja kokeile, miten Mathematica tulkitsee syötteen f’[x]. Mitä
on f’[0]? Katso, mitä antaa komento ?f.
Vihje: Funktio voidaan määritellä kahdella tavalla: antamalla muotoa f[x_]:= ... oleva
määrittely tai käyttämällä funktiota Function. Edellistä tapaa käytettäessä voidaan lisäksi
määritellä erikseen arvo yksittäisissä pisteissä: f[0]= ... .
Tehtava
Ratkaisu
- 7.
Määrittele Mathematicalle funktio, jonka kuvaaja välillä [0 ,] yhdistää pisteet
(0 , 0) ja ( , 2) sekä välillä [ , 1] pisteet ( , 2) ja (1 , 0). Muualla funktio on = 0. Piirrä
funktion kuvaaja.
Vihje: Funktion paloittaisessa määrittelyssä käytetään symbolia /; rajoittamaan
määrittelyaluetta, esimerkiksi f[x_/;x > -1 && x ¡ 1]:= ... . Vaihtoehtona on käyttää funktiota
Piecewise.
Tehtava
Ratkaisu
- 8.
Määrittele Mathematicalle seuraava funktio ja piirrä sen kuvaaja:
Katso, mitä antaa komento ?f. Onko funktio jatkuva? Entä derivoituva? Osaako
Mathematica laskea sen derivaatan?
Vihje: Huomaa: Hyperbolisen kosinin käänteisfunktio (päähaara) arcosh on Mathematicassa
(virheellisesti) ArcCosh. Funktion paloittaisessa määrittelyssä käytetään symbolia /;
rajoittamaan määrittelyaluetta, esimerkiksi f[x_/;x > -1 && x ¡ 1]:= ... . Myös funktiota
Piecewise voidaan käyttää.
Tehtava
Ratkaisu
- 9.
Määrittele cos(nx) kahden muuttujan x ja n funktiona. Piirrä tätä käyttäen
funktioiden cos x, cos 2x ja cos 4x kuvaajat samaan kuvioon.
Vihje: Helpointa on piirtää kukin kuvaaja erikseen ja yhdistää kuviot Show-komennolla yhdeksi
kuvioksi. Kuvion voi piirtää myös yhdellä Plot-komennolla.
Tehtava
Ratkaisu
- 10.
Määrittele Mathematicalle kahden muuttujan funktio, jonka kuvaaja välillä [0 ,]
yhdistää pisteet (0 , 0) ja ( , 2 n) sekä välillä [ ,] pisteet ( , 2 n) ja ( , 0).
Muualla funktio on = 0. Piirrä funktion kuvaaja.
Vihje: Funktion paloittaisessa määrittelyssä tarvittavat ehdot voidaan sijoittaa myös
määrittelevän lausekkeen jälkeen, esimerkiksi f[x_,_n]:=4 n^2 x/;x >= 0 && x ¡= 1/(2 n).
Tehtava
Ratkaisu
- 11.
Laske derivoimalla yhdistetyn funktion f(g(x)) ensimmäinen, toinen ja kolmas
derivaatta.
Vihje: Yhdistettyä funktiota voidaan käsitellä suoraan muodossa f[g[x]]. Saisitko samat tulokset
laskemalla käsin?
Tehtava
Ratkaisu
- 12.
Jos g on funktion f käänteisfunktio, on kaikilla arvoilla x voimassa f( g( x)) = x.
Derivoi tätä yhtälöä kahdesti ja ratkaise tuloksista lausekkeet funktion g
ensimmäiselle ja toiselle derivaatalle lausuttuina funktion f derivaattojen ja funktion g
arvon g( x) avulla.
Vihje: Derivointi voidaan suoran kohdistaa yhtälöön: D[f[g[x]]==x,x]. Tulokset: g′(x) = ,
g′′(x) = −. Saatko samat tulokset laskemalla käsin?
Tehtava
Ratkaisu
- 13.
Määrittele Mathematicalle funktio
Piirrä tämän määritelmän perusteella funktion ja sen derivaatan kuvaajat.
Vihje: Itseisarvofunktio (Abs) integraalin sisällä saattaa aiheuttaa ongelmia. Kokeile
itseisarvojen käyttöä, mutta määrittele funktio myös paloittain itseisarvolausekkeen merkkien
mukaan kolmessa osassa. Tutki, osaako Mathematica derivoida määrittelemiäsi funktioita.
Tehtava
Ratkaisu
- 14.
Ratkaise toisen asteen ax2 + 2x + 1 = 0 yhtälö ja määrittele funktiot, jotka
esittävät yhtälön juuria kertoimen a funktioina. Piirrä näiden funktioiden
kuvaajat. Missä alueessa funktiot ovat määriteltyjä? Miten ne käyttäytyvät, kun
a → 0, jolloin yhtälö muuttuu ensimmäisen asteen yhtälöksi?
Vihje: Ratkaise yhtälö Solve-komennolla ja käytä tulosta suoraan funktioiden määrittelyssä.
Funktionmäärittelyssä on syytä käyttää merkkiä = eikä :=. (Miksi?)
Tehtava
Ratkaisu
- 15.
Fibonaccin luvut määritellään ehdoilla a0 = 1, a1 = 1, an = an−1 + an−2
(n = 2, 3, 4,…). Määrittele Mathematican funktio, joka laskee Fibonaccin lukuja
antamalla määrittelyt a[0]=1; a[1]=1; a[n_]:=a[n-1]+a[n-2] ja laske tämän
avulla Fibonaccin luvut a10 ja a20. Muodosta myös taulukko, jossa on 20 ensimmäistä
lukua.
Vihje: Ennen Mathematican funktion a määrittelyä anna komento Remove[a], jolla poistetaan
mahdolliset aiemmat määrittelyt. Katso myös, mitä komento ?a määrittelyn jälkeen antaa.
Kyseessä on rekursiivinen funktiomäärittely. Taulukko voidaan muodostaa funktiolla Table. Miksi
taulukon laskeminen kestää?
Tehtava
Ratkaisu
- 16.
Funktio f : ℕ → ℕ määritellään ehdoilla
f(n) | = n − 5, kun n > 10, | |
| f(n) | = f(f(n + 6)), kun 1 ≤ n ≤ 10. | | |
Tutki, mitä arvoja funktio saa.
Vihje: Funktion arvot voidaan laskea taulukkoon Table-funktiolla. Miten laskisit käsin arvon f(1)?
Tehtava
Ratkaisu
- 17.
Olkoot A ja B äärellisen monen alkion joukkoja. Joukossa A on m alkiota ja joukossa
B on n alkiota. Olkoon S( m,n) surjektioiden A → B lukumäärä. Tälle
pätee
S(m, 1) | = 1, | |
| S(m,n) | = nm −∑
k=1n−1S(m,k), n = 2, 3,…. | | |
Muodosta surjektioiden määrän osoittava taulukko, kun 1 ≤ m ≤ 5, 1 ≤ n ≤ 5. Onko
itsestään selvää, mitkä taulukon alkiot ovat = 0? Miksi? Mitä lukuja
ovat taulukon lävistäjäalkiot? Osaatko päätellä kaavojen pätevyyden?
Vihje: Surjektio A → B on funktio, jossa jokainen maalijoukon B alkio on jonkin alkion kuva. Summa
voidaan muodostaa funktiolla Sum, binomikerroin on Binomial. Taulukon (kaksinkertaisen listan) voi
muodostaa Table-komennolla ja sen saa näkymään kaksiulotteisena kirjoittamalla perään
//TableForm.
Tehtava
Ratkaisu
- 18.
Mathematicalle voidaan määritellä myös monimutkaisempia funktioita
funktioidenmäärittelyfunktion Function avulla. Määrittele funktio f asettamalla
ja tutki, mitä se laskee, kun argumenttina on luonnollinen luku.
Vihje: Tutki erikseen, mitä FactorInteger antaa. Indeksimerkintä [[1,1]] poimii sen tulostuksesta
osan.
Tehtava
Ratkaisu
|
Työkaluja
|