MMM-Tehtäväportaali

 

 

Menu:

Mathematica harjoitustehtäviä liittyen funktioihin ja funktionkäsittelyyn Mathematicassa.

Käytön idea: kun löydät mieleisesi tehtävän, sen alapuolella on linkki tex-tiedostoon. Lataa tiedosto, ja liitä se Mathematica-pääsivulta löytyvään harjoituspohjaan.

  • 1. 
    Mathematica tuntee ns. gammafunktion Γ(x) nimellä Gamma. Piirrä tämän ja sen derivaatan kuvaajat. Mitä arvoja funktio saa positiivisilla kokonaislukuarvoilla? Vihje:  Skaalaa graafinen esitys siten, että kuvaajien luonne tulee selkeästi näkyviin. Funktion arvot positiivisilla kokonaislukuarvoilla voidaan ilmaista yksinkertaisesti. Miten?

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 2. 
    Määrittele Mathematicalle funktio

             ∘ -------
f (x) = x  1 + -4.
               x2

    Laske funktion arvo pisteissä x = 1, 0, 1. Piirrä kuvaaja. Mikä funktion raja-arvo origossa? Onko tämä olemassa? Onko funktio jatkuva? Vihje:  Funktion määrittelyssä voidaan tässä tapauksessa käyttää yhtä hyvin merkkiä = tai merkkiä :=. Raja-arvo voidaan laskea myös funktiolla Limit; katso ohjeet dokumentaatiosta ja kokeile.

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 3. 
    Piirrä funktion log x2 kuvaaja ja laske sen derivaatta. Voidaanko funktio lausua luonnollisen logaritmin avulla? Vihje:  Mathematican funktio Log on luonnollinen logaritmi. log kx merkitään Log[k,x]. Ks. myös dokumentaatiota.

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 4. 
    Mathematicassa on kaksi operaattoria, joita voidaan käyttää funktioiden määrittelyssä: joko = (eli Set) tai := (eli SetDelayed). Yritä selvittää näiden ero määrittelemällä kaksi funktiota seuraavasti:
    f[x˙,n˙]= Expand[x^n]  
    g[x˙,n˙]:= Expand[x^n]

    Laske tämän jälkeen f[a+b,5] ja g[a+b,5]. Vihje:  Delay = viivästää. Katso myös Mathematican dokumentaatiota. Huomaa, että Expand ei kehitä (ei voi kehittää) lauseketta, jonka eksponentti on symboli: Kokeile g[a+b,n].

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 5. 
    Määrittele Mathematicalle funktio
             −x2
f (x ) = e   .

    Laske taulukko sen arvoista välillä [0, 5] askelena 0.1. Piirrä funktion derivaatan kuvaaja. Muodosta integraalifunktio ja piirrä sen kuvaaja. Laske funktion integraali yli reaaliakselin. Katso, mitä antaa komento ?f. Vihje:  Funktio voidaan määritellä kahdella tavalla: antamalla muotoa f[x_]:= ... oleva määrittely tai käyttämällä funktiota Function. Kokeile molempia. Taulukko muodostetaan funktiolla Table, derivaatta saadaan esimerkiksi kirjoittamalla f’[x]. Integroinnissa tarvittava äärettömyys on Infinity; se voidaan myös valita paletista.

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 6. 
    Määrittele Mathematicalle funktio
            sin x
f (x ) = -----
         x

    ja laske sen arvot pisteissä x = π∕2, x = 1 ja x = 0. Määrittele tämän jälkeen funktio origossa siten, että siitä tulee jatkuva. Laske uudelleen sen arvo origossa. Piirrä funktion kuvaaja ja kokeile, miten Mathematica tulkitsee syötteen f’[x]. Mitä on f’[0]? Katso, mitä antaa komento ?f. Vihje:  Funktio voidaan määritellä kahdella tavalla: antamalla muotoa f[x_]:= ... oleva määrittely tai käyttämällä funktiota Function. Edellistä tapaa käytettäessä voidaan lisäksi määritellä erikseen arvo yksittäisissä pisteissä: f[0]= ... .

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 7. 
    Määrittele Mathematicalle funktio, jonka kuvaaja välillä [0,1
2] yhdistää pisteet (0, 0) ja (1
2, 2) sekä välillä [1
2, 1] pisteet (1
2, 2) ja (1, 0). Muualla funktio on = 0. Piirrä funktion kuvaaja. Vihje:  Funktion paloittaisessa määrittelyssä käytetään symbolia /; rajoittamaan määrittelyaluetta, esimerkiksi f[x_/;x > -1 && x ¡ 1]:= ... . Vaihtoehtona on käyttää funktiota Piecewise.

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 8. 
    Määrittele Mathematicalle seuraava funktio ja piirrä sen kuvaaja:
           (|
       |{ a√rcosh(−-x),    jos x < − 1,
f(x) = |   1 − x2,       jos − 1 ≤ x ≤ 1,
       |( arcosh x,       jos x > 1.

    Katso, mitä antaa komento ?f. Onko funktio jatkuva? Entä derivoituva? Osaako Mathematica laskea sen derivaatan? Vihje:  Huomaa: Hyperbolisen kosinin käänteisfunktio (päähaara) arcosh on Mathematicassa (virheellisesti) ArcCosh. Funktion paloittaisessa määrittelyssä käytetään symbolia /; rajoittamaan määrittelyaluetta, esimerkiksi f[x_/;x > -1 && x ¡ 1]:= ... . Myös funktiota Piecewise voidaan käyttää.

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 9. 
    Määrittele cos(nx) kahden muuttujan x ja n funktiona. Piirrä tätä käyttäen funktioiden cos x, cos 2x ja cos 4x kuvaajat samaan kuvioon. Vihje:  Helpointa on piirtää kukin kuvaaja erikseen ja yhdistää kuviot Show-komennolla yhdeksi kuvioksi. Kuvion voi piirtää myös yhdellä Plot-komennolla.

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 10. 
    Määrittele Mathematicalle kahden muuttujan funktio, jonka kuvaaja välillä [0,1-
2n] yhdistää pisteet (0, 0) ja ( 1
2n, 2n) sekä välillä [ 1
2n,1
n] pisteet (1
2n-, 2n) ja (1
n, 0). Muualla funktio on = 0. Piirrä funktion kuvaaja. Vihje:  Funktion paloittaisessa määrittelyssä tarvittavat ehdot voidaan sijoittaa myös määrittelevän lausekkeen jälkeen, esimerkiksi f[x_,_n]:=4 n^2 x/;x >= 0 && x ¡= 1/(2 n).

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 11. 
    Laske derivoimalla yhdistetyn funktion f(g(x)) ensimmäinen, toinen ja kolmas derivaatta. Vihje:  Yhdistettyä funktiota voidaan käsitellä suoraan muodossa f[g[x]]. Saisitko samat tulokset laskemalla käsin?

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 12. 
    Jos g on funktion f käänteisfunktio, on kaikilla arvoilla x voimassa f(g(x)) = x. Derivoi tätä yhtälöä kahdesti ja ratkaise tuloksista lausekkeet funktion g ensimmäiselle ja toiselle derivaatalle lausuttuina funktion f derivaattojen ja funktion g arvon g(x) avulla. Vihje:  Derivointi voidaan suoran kohdistaa yhtälöön: D[f[g[x]]==x,x]. Tulokset: g(x) = f′(1g(x)), g′′(x) = f′′′(g(x))3-
f(g(x)). Saatko samat tulokset laskemalla käsin?

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 13. 
    Määrittele Mathematicalle funktio
            ∫ 1
f (x) =    |x − t|dt.
         0

    Piirrä tämän määritelmän perusteella funktion ja sen derivaatan kuvaajat. Vihje:  Itseisarvofunktio (Abs) integraalin sisällä saattaa aiheuttaa ongelmia. Kokeile itseisarvojen käyttöä, mutta määrittele funktio myös paloittain itseisarvolausekkeen merkkien mukaan kolmessa osassa. Tutki, osaako Mathematica derivoida määrittelemiäsi funktioita.

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 14. 
    Ratkaise toisen asteen ax2 + 2x + 1 = 0 yhtälö ja määrittele funktiot, jotka esittävät yhtälön juuria kertoimen a funktioina. Piirrä näiden funktioiden kuvaajat. Missä alueessa funktiot ovat määriteltyjä? Miten ne käyttäytyvät, kun a 0, jolloin yhtälö muuttuu ensimmäisen asteen yhtälöksi? Vihje:  Ratkaise yhtälö Solve-komennolla ja käytä tulosta suoraan funktioiden määrittelyssä. Funktionmäärittelyssä on syytä käyttää merkkiä = eikä :=. (Miksi?)

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 15. 
    Fibonaccin luvut määritellään ehdoilla a0 = 1, a1 = 1, an = an1 + an2 (n = 2, 3, 4,). Määrittele Mathematican funktio, joka laskee Fibonaccin lukuja antamalla määrittelyt a[0]=1; a[1]=1; a[n_]:=a[n-1]+a[n-2] ja laske tämän avulla Fibonaccin luvut a10 ja a20. Muodosta myös taulukko, jossa on 20 ensimmäistä lukua. Vihje:  Ennen Mathematican funktion a määrittelyä anna komento Remove[a], jolla poistetaan mahdolliset aiemmat määrittelyt. Katso myös, mitä komento ?a määrittelyn jälkeen antaa. Kyseessä on rekursiivinen funktiomäärittely. Taulukko voidaan muodostaa funktiolla Table. Miksi taulukon laskeminen kestää?

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 16. 
    Funktio f : määritellään ehdoilla
    f(n) = n 5, kun n > 10,
    f(n) = f(f(n + 6)), kun 1 n 10.
    Tutki, mitä arvoja funktio saa. Vihje:  Funktion arvot voidaan laskea taulukkoon Table-funktiolla. Miten laskisit käsin arvon f(1)?

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 17. 
    Olkoot A ja B äärellisen monen alkion joukkoja. Joukossa A on m alkiota ja joukossa B on n alkiota. Olkoon S(m,n) surjektioiden A B lukumäärä. Tälle pätee
    S(m, 1) = 1,
    S(m,n) = nm k=1n1(  )
 n

 kS(m,k), n = 2, 3,.
    Muodosta surjektioiden määrän osoittava taulukko, kun 1 m 5, 1 n 5. Onko itsestään selvää, mitkä taulukon alkiot ovat = 0? Miksi? Mitä lukuja ovat taulukon lävistäjäalkiot? Osaatko päätellä kaavojen pätevyyden? Vihje:  Surjektio A B on funktio, jossa jokainen maalijoukon B alkio on jonkin alkion kuva. Summa voidaan muodostaa funktiolla Sum, binomikerroin on Binomial. Taulukon (kaksinkertaisen listan) voi muodostaa Table-komennolla ja sen saa näkymään kaksiulotteisena kirjoittamalla perään //TableForm.

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 18. 
    Mathematicalle voidaan määritellä myös monimutkaisempia funktioita funktioidenmäärittelyfunktion Function avulla. Määrittele funktio f asettamalla
    f  = Function [x,FactorInteger   [x ][[1,1 ]]]

    ja tutki, mitä se laskee, kun argumenttina on luonnollinen luku. Vihje:  Tutki erikseen, mitä FactorInteger antaa. Indeksimerkintä [[1,1]] poimii sen tulostuksesta osan.

    Tehtava

    Ratkaisu

Työkaluja