MMM-Tehtäväportaali

 

 

Menu:

Mathematica harjoitustehtäviä liittyen vektorianalyysiin.

Käytön idea: kun löydät mieleisesi tehtävän, sen alapuolella on linkki tex-tiedostoon. Lataa tiedosto, ja liitä se Mathematica-pääsivulta löytyvään harjoituspohjaan.

  • 1. 
    Osoita, että polynomit x2 + x ja x2 + 1 toteuttavat differentiaaliyhtälön (x2 2x 1)y′′2(x 1)y+ 2y = 0. Vihje:  Talleta differentiaaliyhtälö Mathematican muistiin siten, että funktion y argumentit ovat paikoillaan: y’’[x] jne. Määrittele vuorollaan kumpikin polynomi Mathematican funktioksi (p[x_]:= ...) ja sijoita tämä yhtälöön: (yhtalo/.y->p). Sievennä tarvittaessa.

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 2. 
    Osoita, että funktio
                                       ||   ( π   x )||
y(x) = C1 sin x + C2 cosx + cos xln ||tan   4-− 2- ||

    toteuttaa differentiaaliyhtälön y′′ + y = tan x. Luvut C1 ja C2 ovat vakioita. Vihje:  Joko: Muodosta funktion y ja erikseen lasketun toisen derivaatan summa ja sievennä tämä. Tai: Määrittele y Mathematican funktioksi ja sievennä y’’[x] + y[x]. Logaritmifunktio on Log. Itseisarvot voidaan jättää huomiotta, sillä Mathematica tuntee logaritmifunktion ln x myös negatiivisilla argumenteilla x, jolloin se eroaa funktiosta ln |x| vain kompleksisella vakiolla . Kokeile: FullSimplify[ComplexExpand[Log[-x]], x > 0].

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 3. 
    Ratkaise differentiaaliyhtälö y′′ + y = x2. Etsi myös alkuehtoa y(0) = 1, y(0) = 2 vastaava yksittäisratkaisu. Vihje:  Käytä komentoa DSolve, jonka avulla voidaan löytää sekä yleinen ratkaisu että yksittäisratkaisu.

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 4. 
    Etsi yleinen ratkaisu Airyn differentiaaliyhtälölle y′′xy = 0. Mitä ratkaisussa esiintyvät funktiot ovat? Vihje:  Käytä komentoa DSolve. Ratkaisu ei ole lausuttavissa tavallisten alkeisfunktioiden avulla, mutta kylläkin Mathematican tuntemien funktioiden avulla.

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 5. 
    Kesätapahtumassa hyttysten määrä oli tilaisuuden alussa 200 ja kolme tuntia myöhemmin 700. Määrän kasvunopeus hetkellä t oli suoraan verrannollinen hyttysten määrään sinä hetkenä. Muodosta hyttysten määrää kuvaava differentiaaliyhtälö ja sen ratkaisuna hyttysten määrä mielivaltaisella hetkellä t. Mikä oli hyttysten määrä viiden tunnin kuluttua tilaisuuden alkamisesta? Vihje:  Käytä funktioita DSolve ja Solve. Kumpikin antaa ratkaisun korvaussäännön muodossa. Ratkaisu voidaan tallettaa muuttujaksi jatkokäsittelyä varten korvausoperaattorilla, esimerkiksi lukum= y[t]/.ratkaisu.

    Tehtava

    Ratkaisu

  • 6. 
    Lohenviljelyaltaaseen, jossa oli 1100 kalaa, levisi kalatauti. Taudin vaikutuksesta kalamäärä alkoi vähetä yhtälön
      ′        ∘-----
P (t) = − 4 P (t)

    mukaisesti. Tässä P(t) on kalamäärä hetkellä t, ja aika t on mitattu viikkoina. Kuinka monen viikon kuluttua kaikki kalat olivat kuolleet? Vihje:  Käytä funktioita DSolve ja Solve. Kumpikin antaa ratkaisun korvaussäännön muodossa. Ratkaisu voidaan tallettaa muuttujaksi jatkokäsittelyä varten korvausoperaattorilla, esimerkiksi lukum= y[t]/.ratkaisu.

    Tehtava

    Ratkaisu

Työkaluja