MMM-Tehtäväportaali

Menu:

Harjoitustehtäviä liittyen diﬀerentiaali- ja integraalilaskentaan Maplessa.

Käytön idea: kun löydät mieleisesi tehtävän, sen alapuolella on linkki tex-tiedostoon. Lataa tiedosto, ja liitä se pääsivulta löytyvään harjoituspohjaan.

1.
mplDi0001.tex Maple
Määritä funktion p(x) = x³ − 4x² + 4x − 1 nollakohdat ja lokaali max/min. Piirrä funktion ja derivaatan kuvaajat.
Vihje: solve,evalf,diff,plot. Yksinkertaisinta ehkä käsitellä lausekkeena, mutta saat kokeilla myös funktiotapaa.

Tehtava
Ratkaisu
PDF ratkaisusta
2.
mplDi0002.tex
Olkoon $f (x) = x2sin(πx ).$
- Laske f^′(4) käyttäen diﬀ ja subs - komentoja. Laske tarkka arvo ja likiarvo. Muista: Pi edustaa vakiota π, pi edustaa vain vastaavaa kreikkalaista kirjainta ilman semantiikkaa.
- Sama D-operaattorin avulla.
- Miten voit a)-kohdassa muuttaa tuloksen derivaattafunktioksi?
- Määritä f^′(4) erotusosamäärän raja-arvona.
Vihje: Komentoja: diff,D,subs,eval,evalf,limit
Funktiomääritykset: f:=x->lauseke(x)
(vrt. Matlab: f=@(x) lauseke(x))
Lausekkeen muuttaminen funktioksi “jälkikäteen”:
F:=unapply(lauseke(x),x

(lauseke(x) tarkoittaa lauseketta, jossa esiintyy symboli x.)
Huom! Uudet Maple-versiot (16 alkaen) armahtavat käyttäjää myös aiemmin ankarin kielloin varoitetusta funktiomäärityksen muodosta tyyliin:
f(x):=x*sin(x) Maple ystävällisesti kysyy, haluatko oikeasti määritellä funktioksi (ja 99%:ssa tapauksista vastaus on YES! (Uskallan sanoa.))
Avainsanat: Maplediﬀ, Mapleperusteet, lauseke/funktio
Vaikeusaste 1.
Tehtava
Ratkaisu
PDF ratkaisusta
3.
mplDi0002.tex
Olkoon $f (x) = x2sin(πx ).$
- Laske f^′(4) käyttäen diﬀ ja subs - komentoja
- Sama D-operaattorin avulla.
- Miten voit a)-kohdassa muuttaa tuloksen derivaattafunktioksi?
- Määritä f^′(4) erotusosamäärän raja-arvona.
Tehtava
4.
mplDi001.tex ([HAM] ss. 48-50)
Funktiolausekkeen derivaatta muodostetaan diff-komennolla.
Määritä seuraavien funktioiden 1. ja 2. derivaatta ja sievennä tulokset simplify-komennolla.
6x³ + 3x² − 2x + 1 , , cos(x² + 1) , arcsin(2x + 3) , , arctan x
Vihje: Voit myös kirjoittaa lausekkeen työarkille, koskettaa sitä hiiren oikealla “context sensitive” näppäimellä, jolloin saat joukon Maple-komentoja, mm. diﬀ, simplify ym.
Luokittelu, avainsanat: Mapleperusteet, Maplediﬃnt, lauseke, symbolinen derivointi, diﬀ
Viitteet:
[HAM] Heikki Apiola: Symbolista ja numeerista matematiikkaa Maple-ohjelmalla, Otatieto 588, 1998.

Tehtava
5.
mplDi0011.tex
Kuulantyönnön tulos riippuu kuulan alkunopeudesta v, lähtökorkeudesta h ja työnnön suuntakulmasta x seuraavan lausekkeen mukaisesti: $( ∘ ----------------) v cos(x ) v sin(x ) + v2 sin(x)2 + 2hg f := x → --------------------------------------, g$
missä x ∈ [−π∕2,π∕2]. Käytetään SI-järjestelmän yksiköitä ja oletetaan, että h = 2, v = 14 ja g = 9.81. Määritä työnnön optimaalinen suuntakulma ja maksimitulos.
Kannattanee edetä seuraavien vaiheiden mukaan:
- Määrittele f funktiona; älä sijoita lukuarvoja tässä vaiheessa, niin voit tarkistaa, että lauseke on oikein.
- Sijoita lukuarvot h,v,g.
- Piirrä funktion f kuvaaja välillä −π∕2 ≤ x ≤ π∕2 ja tarkista, että se näyttää järkevältä. (Yleinen virhe: kertomerkkejä puuttuu!)
- Ratkaise maksimi kokeilemalla molempia tapoja: suoraan maximize TAI muodosta yhtälö f′(x) = 0, ratkaise numeerisesti fsolve-käskyllä, laske maksimi.
- Muuta saatu kulma asteiksi ja mieti, onko tulos järkevä.
Tehtava
Ratkaisu
PDF ratkaisusta
6.
mplDi002.tex
Olkoon f(x) = x² − 4. Muodosta integraalifunktiot

$∫ ∫ f(x)dx, -dx--. f(x )$
Tarkista tulokset derivoimalla.
Vihje: int ja Int. Voit myös aloittaa: int ¡ESC-näppäily>, saat valikon, josta valitset ∫ -merkin ja täydennät luonnollisen tapaan. Käytä simplify-komentoa tarvittaessa.
Luokittelu, Avainsanat: Maplediﬃnt, int,Int,Mapleperusteet
.

Tehtava
7.
mplDi003.tex
Määritä seuraavat integraalit:

$∫ ∞ ∫ ∞ 2 e−tdt ja e−t dt. 0 0$
Vihje: Ääretön: inﬁnity. Huom: Voit kirjoittaa int(ESC), saat valikon, josta voit valita määrätyn integraalimerkin, rajojen paikalle kirjoitat sopivasti, ylärajan voit aloittaa inﬁ(ESC), jolloin Maple antaa taas valikon, josta voit valita ∞-symbolin.
Toki voit kirjoittaa “vanhan hyvän ajan tapaan” int(f,t=0..inﬁnity).

Tehtava
8.
mplDi004.tex
Huom! Alla jotkin kaavat html-sivulla epäselviä, suositus: avaa pdf-tiedosto (ellet jo avannut).
Laske seuraavat integraalit. Määräämättömien integraalien tapauksessa tarkista tuloksesi derivoimalla. Määrätyissä integraaleissa, joista Maple ei suoriudu voit käyttää numeerista integrointia. Laske joitakin esimerkkejä (kuten h-kohta) “symbolisesti” ja sitten tulokselle numeerinen likiarvo ja toisaalta suoraan numeerisesti.
Huomaa, että ns. “suljettu muoto” on nykyisin epämääräinen käsite, sillä useat “perinteisesti mahdottomat” integraalit voidaan lausua Maple:n tuntemien erikoisfunktioiden (kuten erf ) avulla.
- a) ∫ ₀^π∕2 sin xdx b) ∫ x cos x²dx
- c) ∫ sin3xdx d)∫ ln xdx
- e) ∫ x²dx f) ∫₀¹dx
- g) ∫ ₀^πe^{cos x}dx h) ∫_−∞^∞e^−x²dx
Vihje: Integrointikomento on int. Lisäksi on komennon muoto Int, joka on ns. “hidas muoto” int:stä (“inert function”).
Numeerinen integrointi saadaan aikaan yhdistelmällä evalf(Int(...)) tai int(,...,numeric).
Muoto evalf(int(...)) yrittää ensin symbolista, ja evaluoi tuloksen. Jos symbolinen ei onnistu, integroi numeerisesti. Siksi saattaa olla paljon tehottomampi numeeriseen integrointiin.
Avainsanat: mapleDiﬃnt, symbolinen integrointi, numeerinen integrointi,erf
Tehtava
9.
mplDi005.tex
Maple, Mathematica , Matlab (erityisesti b)-kohta).

Laske integraali
$∫ 2π -----cosx-----dx 0 13 − 12 cos2x$
a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo?
Vihje:
Mathematica:
Symbolinen integrointi tapahtuu funktiolla Integrate, numeerinen funktiolla
NIntegrate. Jälkimmäisessä sovelletaan suoraan jotakin numeerisen integroinnin menetelmää, jonka valintaan myös käyttäjä voi vaikuttaa. Ks. dokumentaatiota, erityisesti Implementation Notes.
Maple:
Symbolinen integrointi tapahtuu funktiolla int, numeerinen funktiolla
int(...,type=numeric) tai evalf(Int(...)). Numeerisessa sovelletaan suoraan jotakin numeerisen integroinnin menetelmää, jonka valintaan myös käyttäjä voi vaikuttaa.
Esim: evalf(Int(f, x = 0 .. 2, digits = 20, method = ˙Dexp))
Matlab:
Integrandi määritellään funktioksi (helpoimmin funktiokahvaksi “function handle”). Sitten quad-alkuiset Matlab-funktiot.
Luokittelu:
mplteht/mplDiffint/mplDixx.tex, matlabteht/mlDiffint/mlDixx.tex
mmateht/mmaDiffint/mmaDi100
Avainsanat:
Symbolinen integrointi, numeerinen integrointi, funktiot, lausekkeet

Ratkaisu: ON (mplDi005R.mw, mplDi005R.pdf)
Viitteet:
http://math.tkk.fi/˜apiola/matlab/opas/lyhyt/m-files.html (Matlab:n funktiokahva, function handle)
.

Tehtava
Ratkaisu
PDF ratkaisusta
10.
mplDi005a.tex (PA, P1, tharj. 2, s. 2011)

Harjoituksessa käytetään Maple-ohjelmaa. Toisen harjoituksen tavoitteena on syventää tietoja funktioiden käsittelystä: aiheina ovat mm. derivointi, maksimointi, yhtälöiden ratkaiseminen (ja iterointi jos jää aikaa). Avaa Viikkoharjoitukset-sivulla oleva työarkki ja käy läpi siinä olevat esimerkit ja tehtävät. Sen jälkeen voit siirtyä alla oleviin tehtäviin, mikäli aikaa riittää.
1.
Klikkaa hiirellä Viikkoharjoitukset-sivun tiedostoa maple2.mw
(tässä
http://www.math.hut.fi/opetus/Mattie/MattieT/mplteht/mplDiffint/mplDi005aPohja.mw), ja avaa se Maple-ohjelmalla. Käy läpi työarkin tehtävät ja siirry sen jälkeen alla oleviin tehtäviin.
2.
Putoavan kappaleen nopeus v = v(t) toteuttaa diﬀerentiaaliyhtälön mv′(t) = mg−kv(t)², jos positiivinen suunta on alaspäin ja ilmanvastus on verrannollinen nopeuden neliöön kertoimella k > 0.
a) Osoita, että funktio $(∘ --- ) ∘ mg-- gk v(t) = ----tanh ( ---t) k m$
toteuttaa vaaditun diﬀerentiaaliyhtälön.
b) Mikä on rajanopeus lim _t→∞v(t)?
Vihje: simplify-käsky ei tee sievennyksiä aivan loppuun, koska se ei tiedä, ovatko m,g,k positiivisia. Lisää käsky assume(m>0 and k>0 and g>0) ja kokeile sievennystä sen jälkeen.
3.
Kuulantyönnön tulos riippuu kuulan alkunopeudesta v, lähtökorkeudesta h ja työnnön suuntakulmasta x seuraavan lausekkeen mukaisesti: $( ∘ --------------) v cosx v sin x + v2sin2x + 2hg f(x) = -----------------------------------, g$
missä x ∈ [−π∕2,π∕2]. Käytetään SI-järjestelmän yksiköitä ja oletetaan, että h = 2, v = 14 ja g = 9.81. Määritä työnnön optimaalinen suuntakulma ja maksimitulos.
Kannattanee edetä seuraavien vaiheiden mukaan:
- Määrittele f funktiona; älä sijoita lukuarvoja tässä vaiheessa, niin voit tarkistaa, että lauseke on oikein.
- Sijoita lukuarvot h,v,g.
- Piirrä funktion f kuvaaja välillä −π∕2 ≤ x ≤ π∕2 ja tarkista, että se näyttää järkevältä. (Yleinen virhe: kertomerkkejä puuttuu!)
- Ratkaise maksimi kokeilemalla molempia tapoja: suoraan maximize TAI muodosta yhtälö f′(x) = 0, ratkaise numeerisesti fsolve-käskyllä, laske maksimi.
- Muuta saatu kulma asteiksi ja mieti, onko tulos järkevä.
Avainsanat: mplDiﬃnt, PeruskurssiP1, putoavan kappaleen diﬀyhtalo, diﬀerentiaalyhtalo, yhtälö, simplify, assume
Tehtava
11.
mplDi006.tex (Maple, Mathematica)
Laske integraali

$∫ √ ------- x4 − 2dx$
Yritä sieventää tulosta (äläkä masennu, kun ei sievene). Derivoi, sievennä ja hämmästy!
Vihje: Funktiot int (ja Int).
Tehtävä näyttää kovin viattomalta, mutta tulos voi yllättää ja lisätä kunnioitusta Maplen kykyihin. Samalla näkyy, että integroinnin ns. “suljettu muoto” on nykyohjelmissa huomattavasti laajentunut entisajoista.
Luokittelu, avainsanat: MapleDiﬃnt, integrointi, erikoisfunktiot

Tehtava
12.
mplDi007.tex
[Isr] s. 46
Ilmapallon tilavuus kasvaa nopeudella 10cm³∕s. Millä nopeudella säde kasvaa hetkellä, jolloin pallon pinta-ala on 200cm²?
Vihje: Periaate: V (t) = πr(t)³, A(t) = 4πr². Derivoidaan: V ′(t) = lauseke, jossa esiintyy r(t) ja r′(t) (implisiittinen derivointi). Tästä saadaan yksi yhtälö, josta voidaan ratkaista r′ V ′:n (tunnettu) ja r:n avulla. r saadaan pinta-alaehdosta.
Voit aloittaa vaikka näin:

V:=(4/3)*Pi*r(t)^3; A:=4*Pi*r(t)^2;
yht1:=10=diff(V,t);yht2:=200=A;

Huomaa, että diff soveltaa implisiittistä derivointia tuntemattomaan funktioon r(t).
Ratkaisu:

> V := (4/3)*Pi*r(t)^3;
> A := 4*Pi*r(t)^2;
> yht1 := 10 = diff(V, t);
> yht2 := 200 = A;
> r1 := solve(yht2, r(t));
> r1 := max(r1); # Valitaan pos.
> dr := solve(yht1, diff(r(t), t));
> subs(r(t) = r1, dr);

Luokittelu, avainsanat: MapleDiﬃnt, implisiittinen dervointi
Viitteet: [Isr] Robert Israel: Calculus: The Maple Way, Addison Wesley

Tehtava
13.
mplDi008.tex
Missä pisteissä Cartesiuksen lehden x³ + y³ = 3xy tangentin suuntakulma jonkin koordinaattiakselin suhteen on = 45^∘ ? Piirrä sekä käyrä että ko. tangentit (ainakin joku tangentti).
Vihje: Implisiittinen derivointi ja numeerinen yhtälön ratkaisu fsolve lienevät paikallaan. Huomaa, että diff soveltaa implisiittistä derivointia tuntemattomaan funktioon y(x) (tai x(y)).
Luokittelu, avainsanat: MapleDiﬃnt, implisiittinen derivointi, yhtälön numeerinen ratkaisu, fsolve

Tehtava
14.
mplDi009.tex (Maple, Mathematica)
Muodosta funktion f(x) = arctan ensimmäinen ja toinen derivaatta. Piirrä funktion ja derivaattojen kuvaajat.
Vihje: Derivaatat ovat aluksi todella sotkuisia. Käytä komentoa simplify siistiäksesi tulostusta.
Kuvat saattavat yllättää ja johdatella pohtimaan, miksi?
Ratkaisu:

(Poista kommentit ...)
%> f := x -> arctan(sqrt((1-cos(x))/(1+cos(x))))
%> plot(f(x),x=-2*Pi..2*Pi)
%> df := diff(f(x), x)
%> df:=simplify(df)
%> plot(df,x=-Pi..Pi)
%> d2f:=diff(df,x)
%> simplify(%)

Luokittelu, avainsanat: diﬀ, simplify, plot,diﬃnt1, peruskurssi1

Tehtava
15.
mplDi010.tex
Määritä funktion f(x) = arcsin(2x) suurin ja pienin arvo välillä [−1, 1].
Käytä symboliohjelmissa perinteistä “diﬃstekniikkaa” kuvan kanssa, Matlab:ssa raakaa “numeronmurskausta” tyyliin: linspace, plot, zoom, uusi linspace kapeammalla välillä, find, ...
Vihje: arcsin on Mathematicassa ArcSin, Maplessa arcsin ja Matlabissa asin.
Symbolilaskentaohjelma saattaa johtaa oikeaan tulokseen puutteellisin perustein, jos tarkkoja ollaan.
Ratkaisu: Tämän kohdan ratkaisulinkissä Maple-ratkaisu, Matlab-ratkaisu vastaavassa Matlab-kohdassa (../../matlabteht/mlDiﬃnt/mlDi010R.m ja .pdf)
Avainsanat: Diﬃnt1,max/min, ääriarvot,peruskurssi1

Tehtava
Ratkaisu
PDF ratkaisusta
16.
mplDi011.tex
Ohjelmat: Maple,Mathematica
Laske sen alueen pinta-ala, jota rajoittavat käyrät y² = x ja x − y = 3. Vihje: Mieti, kumpi on helpompaa: integrointi x- vai y-suunnassa. Ratkaisu: mplDi011.pdf (pdf-tiedosto),
mplDi011.mw (Maple ws)
...mmateht/mmaDiﬃnt/mmaDi107R.nb (Mma-notebook)
Luokittelu:
mplteht/mplDiffint/mplDi011.tex, mmateht/mmaDiffint/mmaDi107.tex
Avainsanat:
Pinta-ala, integraali,diﬃntperusteet,peruskurssi1.

Tehtava
Ratkaisu
PDF ratkaisusta
17.
mplDi012.tex
(Maple,Mathematica)
Määritä ellipsin 9x² + 16y² = 144 sisään piirretyn (akselien suuntaisen) suorakulmion maksimaalinen pinta-ala. Piirrä ellipsi ja suorakulmio.
Ratkaisu: Maple: mplDiﬃnt/mplDi012R.mw
mplDiﬃnt/mplDi012R.pdf
Avainsanat: Diﬃnt1, ääriarvot, peruskurssi1,diﬃntperusteet

Tehtava
Ratkaisu
PDF ratkaisusta
18.
mplDi013.tex
(Mathematica,Maple)
Määritä funktion $f (x ) = ---1----- 2 + sin x$
integraalifunktio ja piirrä sen kuvaaja. Onko tämä jatkuva? Pitäisikö sen olla jatkuva? Laske funktion integraali jakson [0, 2π] yli a) integroimalla analyyttisesti komennolla Integrate, b) integroimalla numeerisesti komennolla NIntegrate, c) muodostamalla ensin integraalifunktio komennolla Integrate ja sijoittamalla rajat tähän korvausoperaattoria käyttäen.
Vihje: Mathematica:
Komennolla Integrate lasketaan sekä integraalifunktio että määrätty integraali. Numeeriselle integroinnille (määrätyn integraalin laskemiseen) on komento NIntegrate. Korvausoperaattori on ReplaceAll eli /. .
Maple: Integrointi: int, “hidastusmuoto”: Int.
Numeerinen integrointi: int(lauseke,x=a..b,numeric).
Arvon (a) sijoittaminen lausekkeen (F) muuttujaan (x): subs(x=a,F)
Ratkaisu:

> f := 1/(2+sin(x))  # (Työarkilla matem. notaatio)
> F:=int(f,x)
> plot(F,x=0..2*Pi)  # Oho, integroimisvakiot ei yhteensopivat.
> subs(x=2*Pi,F)-subs(x=0,F)
> simplify(%)       # Ei voi olla, integroitava pos. koko välillä
> int(f,x=0..2*Pi)
> evalf(%)
> int(f,x=0..2*Pi,numeric)

Tehtava
19.
mplDi014.tex
(Mathematica,Maple)
Laske kardioidin r = 1 + cos φ kaarenpituus. Piirrä kuvio. Miten saat kardioidin kuvan oikeanmuotoiseksi? Tuntuuko saamasi pituus uskottavalta?
Vihje: Kaarenpituusintegraali: ∫ ds = ∫ dφ.

Tehtava
20.
mplDi015.tex
Laske kaksinkertainen integraali $∫ 1∫ x2 √------ x 1 + ydydx. 0 −x2$
Laske tarkka arvo sekä likiarvo.
Vihje: Huom: Maplessa voit kirjoittaa integraalit, neliöjuuret ym. matemaattisena notaationa.
Tässä kaksoisintegraalissa syntyy jostain syystä oikeannäköisen matemaattisen kaavan kanssa vaikeaselkoinen virhe:
Error, unable to parse integral ... . Kyse on diﬀerentiaalitermin tulkintavaikeudesta.
Perusnotaatio (int(int(...))) toimii varmasti.
Ratkaisu:

> int(int(x*sqrt(1+y), y = -x^2 .. x^2), x = 0 .. 1)
> evalf(%)

Avainsanat: diﬃnt2, kaksinkertainen integraali, peruskurssi2

Tehtava
21.
mplDi016.tex
Osoita, että funktio $1 f (x,y,z) = √--2----2----2 x + y + z$
toteuttaa Laplace yhtälön f_xx + f_yy + f_zz = 0.
Vihje: Laske osittaisderivaatat diff-komennolla. Tulos ei todennäköisesti suoraan anna nollaa, vaan kaipaa sieventämistä. Käytä tähän komentoa simplify.
Ratkaisu:

> f := 1/sqrt(x^2+y^2+z^2)
> diff(f, x, x)+diff(f, y, y)+diff(f, z, z)
> simplify(%)

Avainsanat: diﬃnt2, osittaisderivaatta, Laplacen yhtälö, peruskurssi2

Tehtava
22.
mplDi017.tex
- Osoita, että funktio arctan toteuttaa Laplacen osittaisdiﬀerentiaaliyhtälön
  
  $∂2u ∂2u ---- + ----= 0. ∂x2 ∂y2$
  (Tällaisia funktioita sanotaan harmonisiksi funktioiksi.)
- Oletetaan, että funktioilla u(x,y) ja v(x,y) on jatkuvat toiset osittaisderivaatat ja ne toteuttavat ns. Cauchy-Riemannin yhtälöt:
  
  $∂u-= ∂v-, ∂v- = − ∂u- ∂x ∂y ∂x ∂y$
  Osoita, että u ja v ovat harmonisia.
- Olkoon f(x,y) = x³y² +x⁴ sin y +cos(xy). Laske osittaisderivaatat f_xxy, f_xyx, f_yxx ja totea, että ne ovat samat.
Ratkaisu: mplDiﬃnt/mplDi017R.mw ja .pdf
Avainsanat: Osittaisderivaatta, harmoniset funktiot, sekaderivaatat yhtyvät, diﬃnt2, peruskurssi2
Tehtava
Ratkaisu
PDF ratkaisusta
23.
mplDi018.tex

Approksimoi numeerisesti kahden desimaalin tarkkuudella polun
$γ(t) = (cos(4πt),t2),t ∈ [0,1]$
pituutta. Idea on, että jaat välin [0, 1] n kappaleeseen tasapituisiä välejä, ja lasket näiden välien päätepisteitä vastaavien koordinaattien etäisyydet yhteen. Näin jakoa tihentämällä summan pitäisi lähestyä oikeaa pituutta. Muista, että saat tarkan pituuden laskemalla
$∫ |γ ′(t)|dt$

Vihje:

Tehtava
24.
mplDi019.tex
Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1, syksy 2011, Pekka Alestalo

Harjoituksessa käytetään Maple-ohjelmaa. Viimeisen harjoituksen tavoitteena on tutustua integraalilaskentaan ja ratkaista siihen liittyvä sovellettu tehtävä. Lopuksi tutustutaan työarkin esimerkkien avulla jonojen, listojen ja matriisien käsittelyyn, jos jää aikaa.
Tarkista oman ryhmäsi aika ja paikka. Ota mukaasi (tämän paperin lisäksi) Viikkoharjoitukset-sivun Maple-pikaohje. Myös aikaisempien kierrosten malliratkaisut kannattaa kerrata.
1.
Käy läpi edellisen kerran tehtävä 3 Noppa-sivun malliratkaisun avulla, ellet ehtinyt tehdä sitä viimeksi.
2.
Klikkaa hiirellä Viikkoharjoitukset-sivun tiedostoa maple3.mw (puuttuu tästä toistaiseksi) ja avaa se ohjelmalla Maple 15. Käy läpi esimerkit ja laske annetut integraalit.
3.
Työarkilla on annettu katenaariin eli ketjukäyrään liittyvä tehtävä, jossa etsitään sellaisen köyden muotoa, jonka pituus on 6 ja jonka päät on kiinnitetty pisteisiin (0, 1) ja (3, 2). Käy läpi esimerkkilaskut väärästä yrityksestä paraabelin y = g(x) = Ax² + Bx + C avulla ja ratkaise sitten tehtävä oikean lausekkeen $1- y = f (x) = a cosh(a(x − b)) + c$
avulla. Ehdot tulevat siis muotoon f(0) = 1, f(3) = 2 ja
$∫ 3∘ ---------- 1 + f′(x)2dx = 6. 0$
Piirrä lopuksi funktioiden f ja g kuvaajat samaan kuvaan ja vertaa tuloksia.

Hyödyllisiä vihjeitä:
- Kursoria ei tarvitse siirtää rivin loppuun ennen Enter-käskyä!
- Nuolinäppäimillä voi siirtyä yläindeksistä pois; samoin murtolausekkeissa.
- Pikanäppäimiä:
  Ctrl + Delete poistaa käsky- tai tulosrivin
  Ctrl + t siirtyy tekstitilaan
  F5 siirtyy tekstitilassa kaavankirjoitustilaan ja takaisin
  Ctrl + k tekee uuden käskyrivin kursorin yläpuolelle
  Ctrl + j tekee uuden käskyrivin kursorin alapuolelle
  Ctrl + l (l = label) liittää viittauksen aikaisemman tuloksen numeroon
Vihje:
Tehtava
25.
mplDi020.tex
Integroi rationaalifunktiot: $------x------ --x5 +-4- a) 2x2 − 3x − 2 b ) (x2 + 2)2$
Saat käyttää Maplea apuna, mutta komennot convert(lauseke,parfrac,x) (puhumattakaan int :stä) ovat kiellettyjä muuhun kuin tarkistukseen. Katso mallia Maple-työskentelyyn vaikkapa /p/edu/mat-1.414/L2000/inttekn.mws:stä. Tehtävien ei pitäisi olla kohtuuttomia kokonaan käsinkään laskettaviksi.
** Linkki tuskin toimii, tee apu.zip ** Vihje:

Viitteitä: Tämä ja seuraavat n. 10 teht. kokoelmasta ... v2-3/H/harj2.tex (** Nootti systeemin rakentajalle(HA) **)

Tehtava
26.
mplDi021.tex
Tynnyrin korkeus on h, pohjaympyrösöiden säteet a ja keskikohdalta otetun poikkileikkausympyrän säde b (a < b). Laske tynnyrin tilavuus, kun sivulaudat kaartuvat paraabelin muotoisesti.
Vihje: Sopii käsinlaskuun ja Maple/Mathematica-harjoitteluun.
Avainsanat: mapleDiﬃnt, Mapleperusteet, peruskurssi1
.

Tehtava
27.
mplDi022.tex
Laske sen alueen pinta-ala, joka on ympyrän r = a sisäpuolella, mutta Bernoullin lemniskaatan r² = 2a² cos 2ϕ ulkopuolella. Vihje: Sopii käsinlaskuun ja Maple/Mathematica-harjoitteluun. Avainsanat: mapleDiﬃnt, Mapleperusteet, peruskurssi1

Tehtava
28.
mplDi023.tex
Laske asteroidin x = a cos ³t,y = a sin ³t koko pituus. Piirrä mielellään sekä Maplella (tai Mma:lla) että Matlabilla.
Vihje: Sopii käsinlaskuun ja Maple/Mathematica(/Matlabkin)-harjoitteluun.
Avainsanat: mapleDiﬃnt, Mapleperusteet, peruskurssi1

Tehtava
29.
mplDi024.tex
Ketjukäyrän y = a cosh , |x|≤ a pyörähtäessä x-akselin ympäri syntyy katenoidiksi kutsuttu pinta. Laske sen ala ja piirrä kuva (sopivalla a:lla). Vihje: Sopii käsinlaskuun ja Maple/Mathematica(/Matlabkin)-harjoitteluun. Avainsanat: mapleDiﬃnt, Mapleperusteet, peruskurssi1

Tehtava
30.
mplDi025.tex
Määritä ne p:n arvot, joilla seuraavat integraalit suppenevat ja määritä suppenevien integraalien arvot. $∫ ∞ ∫ 1 a) x−pdx b) x− pdx 1 0$ Vihje: Sopii käsinlaskuun ja Maple/Mathematica(/Matlabkin)-harjoitteluun. Avainsanat: mapleDiﬃnt, Mapleperusteet, peruskurssi1

Tehtava
31.
mplDi026.tex
Selvitä, suppeneeko ∫ ₀¹ ln xdx. Integrointiin voit käyttää Maplen int-komentoa. Tarjoile ongelma Maplelle raja-arvona, johon sovellat limit-funktiota. Selvitä tuloksen oikeellisuus. Vihje: Avainsanat: mapleDiﬃnt, Mapleperusteet, peruskurssi1

Tehtava
32.
mplDi027.tex
Eulerin Γ-funktio määritellään kaavalla $∫ ∞ Γ (x ) = tx− 1e−tdt, x > 0 0$
a) Osoita, että integraali suppenee aina kun x > 0.
b) Johda osittaisintegroimalla palautuskaava Γ(x):lle Γ(x − 1):n avulla ja osoita sitä käyttäen, että Γ(n + 1) = n!, kun n = 0, 1, 2,... .
c) Tutustu Gamma-funktioon piirtämällä Maplella tai Matlabilla. Huomaa, että Matlabissa ei ole (ollut) muuta tapaa n!:n laskemiseen kuin Gamman avulla. Pikku tarkennus (v. 2012): No, tokihan voi laskea: prod(1:n), mutta uudemmissa versioissa on myös factorial. Vihje: a)- ja b)-kohdat käsinlasku(pää-päättely)tehtäviä. Avainsanat: mapleDiﬃnt, Mapleperusteet, peruskurssi1

Tehtava
33.
mplDi028.tex (Maple,Matlab)
Selvitä, miksi seuraava Matlabin komentojono antaa exp-funktion (0:ssa muodostetun) Taylorin n-asteisen polynomin kertoimet.
n=10,c=1:n,c=gamma(c+1),c=1./c,c=[1,c]
Huomaa, että kertoimet ovat kasvavan potenssin mukaan, joten jos/kun halutaan laskea polyval-funktiolla arvoja, on tehtävä y=polyval(fliplr(c),x);
a) Piirrä exp-funktio ja sen Taylorin polynomit T_k(x, 0), arvoilla k = 1…10 .
b) Suorita Maple-komento
seq(eval(subs(x=0,diff(exp(x),x$k) )),k=1..5); Se antaa varmasti idean, miten Maplen ja Matlabin yhteistyöllä voi kätevästi laskea minkä tahansa funktion Taylorin polynomeja x-vektorissa. Muodosta tällä tavoin joidenkin funktioiden Taylor-polynomitaulukoita ja kuvia.
c) Muodosta ja piirrä edellisiä suoraan Maplella .
d) Kirjoita edellä olevat ideat (pieneksi, 2–3 komentoa) funktioksi taypolkert, joka yksinkertaisesti ottaa argumentikseen (Vaikkapa Maplella saatavan ) derivaattajonon, jossa siis käsiteltävän funktion derivaatat on laskettu kehityskeskuksessa. Funktion tulee palauttaa Taylorin polynomin kerroinjono. (Laskentapiste ei näy Matlab-funktiossa argumenttina, se tulee mukaan jo Maple (tai kynä/paperi)-vaiheessa.) Palauta kertoimet alenevien potenssien mukaan, siis “polyval-sopivasti”. Alku voisi olla tällainen:

function kertoimet=taypolkert(derjono)
% Lasketaan Taylorin polynomin kertoimet. Asteluku määräytyy
% derjonon pituudesta
% derjono: [f(x0),f’(x0),f’’(x0),...]
% pisteet, joissa lasketaan

Testaa funktiotasi ainakin samoilla kuin ennen funktion tekoa. Voi tietysti olla, että haluat mieluummin kirjoittaa funktion muodossa function y=taypol(derjono,x) . Tällöin polyval on mukana ja arvot lasketaan siis vektorissa x. No, tee miten haluat! Vihje: Avainsanat: mapleDiﬃnt, Mapleperusteet, peruskurssi1,Taylorin polynomi,Matlabdiﬃnt

Tehtava
34.
mplDi029.tex (Maple,Matlab)
Laske sopivaa Taylorin polynomia ja siihen liittyvää virhetermiä hyväksi käyttäen likiarvo integraalille $∫ 1 √ --x2 0 xe dx$ siten, että virheen itseisarvo on korkeintaan 10⁻⁶. Tarkoitus on laskea Taylorin kaavan jäännöstermin avulla, kuinka korkea asteluku tarvitaan, jotta virheraja varmasti alitetaan.
Vertaa laskemaasi approksimaatiota Maplen evalf(Int(..)); - komennon antamaan arvoon.
Pohdittavaksi: Onko Taylorin polynomin käyttö hyvä numeerisen integroinnin menetelmä? Missä tapauksessa on ja missä ei? Vihje: Avainsanat: mapleDiﬃnt, Mapleperusteet, peruskurssi1,Taylorin polynomi,Matlabdiﬃnt

Tehtava
35.
mplDi030.tex (Maple,Matlab)
Muodosta lemniskaatan r² = cos 2ϕ kaaren pituuden lauseke. Voit integroida välillä [0,π∕4] ja kertoa tuloksen 4:llä.
Kokeile integroida Maplella, kenties tulos on hieman yllättävä, laske numeerinen approksimaatio evalf:lla.
Suorita with(student): ja kokeile funktioita trapezoid ja simpson. Huomaa, että integroitava on singulaarinen päätepisteessä, joten näillä täytyy jättää väli hieman vajaaksi. Pääsetkö lähelle oikeaa tulosta näillä välineillä. Katso myös kuvia, niin integrandista kuin integraalifunktiostakin (Niin, Maple osaa tosiaankin sellaisen muodostaa!) Vihje: Avainsanat: mapleDiﬃnt, Mapleperusteet, peruskurssi1,Taylorin polynomi,Matlabdiﬃnt,numeerinen integrointi

Tehtava
36.
Selitä, miksi näin saadaan exp-funktion katkaistu Taylorin sarja. Suorita sitten Maplella tämäntyylistä:
> series(exp(x), x = 0, 10); # tai taylor(…);
> p:=convert(%,polynom);
> c:=coeffs(p,x);
> evalf(%);

Selitä, mitä näissä tapahtuu. (Tutki tarvitessasi helpillä komentoja niin Matlabissa kuin Maplessa.)
Piirrä ja taulukoi tulokset.
Vihje:

Tehtava

Työkaluja

Tehtävät pdf-muodossa