-
mplDiV000
mplDiV000.tex
Ohjeita
Kerätään ohjeita näiden tehtävien aihepiiriin liittyen. Alla olevasta“tehtävä”-linkistä saat \(\LaTeX\)-koodin, josta sopivan osan voit haluamallasi tavalla muokaten liittää tehtäväpaperiisi.
Taylorin polynomit
Kahden muuttujan Taylorin polynomi kehitettynä pisteesä \(p\) voidaan kirjoittaa:
\[P_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} (h_1 D_1 + h_2 D_2)^k f(p)\]
Tästä on helppo arvata, miten useamman muuttujan polynomi rakentuu.
Erityisesti 2. asteen Taylorin kaava voidaan kirjoittaa muotoon
\[f(p+h)=f(p)+h^T \nabla f(p) + \frac{1}{2} h^T H_f(p)h + R_2(h),\] joka pätee n:n muuttujan funktiolle sellaisenaan. Tässä jäännöstermi \(R_2(h)=||h||^3 O(h)\) . (Eli riittävän pienessä \(p\):n ystössä pätee: \(R_2(h)\leq M ||h||^3 \) jollain vakiolla \(M\).)
Neliömuotojen definiittisyys
Määr:
Neliömuoto \(q(x)=x^T A x\) (A on symmetrinen matriisi) on
positiivisesti definiitti, jos \(q(x) > 0\) \(\forall x\neq 0\),
negatiivisesti definiitti, jos \(q(x) < 0\) \(\forall x\neq 0\),
positiivisesti semidefiniitti, jos \(q(x) \ge 0\) \(\forall x\in \R^n\) ja \(\exists y\ne 0\), jolla \(q(y)=0\),
negatiivisesti semidefiniitti, jos \(q(x) \leq 0\) \(\forall x\in \R^n\) ja \(\exists y\ne 0\), jolla \(q(y)=0\),
indefiniitti, jos \(\exists x, y\) siten, että \(q(x) > 0\) ja \(q(y) < 0 .\)
Samoja definiittisyyskäsitteitä käytetään myös symmetrisestä matriisista \(A\).
Suunnattu derivaatta ja gradientti
Suunnattu derivaatta pisteesä \(p_0\) vektorin \(\vec{v}\) suunassa saadaan lasketuksi pisteessä \(p_0\) lasketun gradientin ja suuntayksikkövektorin sisätulona.
Siispä funktio kasvaa nopeimmin gradientin suuntaan ja sen kasvu on \(0\) gradienttia vastaan kohtisuoraan suuntaan.
Suunta, johon funktion kasvu on \(0\) on tasa-arvokäyrän (tai -pinnan) tangentin (tangenttitason) suuntainen, joten gradientti on normaalin suuntainen.
Pinnan normaali ja tangenttitaso
Jos pinnan yhtälö esitetään muodossa \(F(x,y,z)=0\), saadaan edellisen perusteella pinnan tangenttitason yhtälö pisteessä \(p_0\) näin:
\(\nabla F(p_0) \dot (p-p_0)=0\)
Jos pinta on annettu muodossa \(z=f(x,y)\), saadaan siten normaalin suunta funktion \(F(x,y,z)=f(x,y)-z\) gradienttina.
Tästä seuraa, että pisteeseen \(p_0\) asetetun tangenttitason yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon
\[z-z_0 = f_1(p_0)(x-x_0) + f_2(p_0)(y-y_0) .\]
(\(f_1 \)ja \(f_2\) tarkoittavat osittaisderivaattoja.)
Kahden pinnan leikkauskäyrän tangentti
Leikkauskäyrän tangentti on kohtisuorassa molempien pintojen normaalia vastaan (eikö vain!). Siten leikkauskäyrän tangentin suuntainen vektori saadaan pinnan normaalivektorien ristitulona \(\vec{t}= \vec{n_1}\times \vec{n_2}\).
Kriittiset pisteet, ääriarvot
Kriittinen piste (KRP) \(p\): \(\nabla f(p)=0\).
Kriittisen pisteen laatu selviää (jos selviää) Hessen matriisin \(H_f(p)\) definiittisyydestä.
Symmetrisen matriisin definiittisyyskäytös selvitetään ominaisarvojen avulla. Jos matriisi on \(2\rtimes 2,\) voidaan käyttää determinanttia (kts. tehtävä mplV006a). Isommillekin matriiseille on determinanttiehtoja, mutta ne on hankala muistaa ja käyttää, jääkööt muistoksi “determinanttien kulta-ajoilta”.
Maple-ohjeita
Vektorikenttä ja gradientti
with(linalg): with(plots):
fieldplot(grad(f(x,y),[x,y]),x=a..b, y=c..d,arrows=slim,color=x);
# a:lla, b:lla jne. oltava tietysti numeeriset arvot.
Uusissa Maplen versioissa on kirjastopakkaus VectorCalculus ja siellä funktio Gradient lukuisine valitsimineen. Kts. helppi. Vanhan linalg-kirjaston kunnon grad on perustarpeisiin ehkä yksinkertaisin ja helppokäyttöisin.
Oma pikku funktio on usein selkein, se voidaan määritellä ongelmakohtaisesti esim. toimimaan vain 2d-tilanteessa. Tällainen gradienttifunktio voitaisin kaikessa yksinkertaisuudessaan määritellä näin: gradi2:=(f,x,y)->[diff(f,x),diff(f,y)]
Pintapiirroksen “valaiseminen” esim. avaruuskäyrillä
Usein pintapiirrosta voidaan täsmentää ja tarkentaa ja ymmärtää paremmin, kun piirretään sopivia avaruuskäyriä pinnalle spacecurve:lla.
Alla on esimerkki, jossa piirretään napasädettä pitkin kulkevan pystytason ja annetun pinnan leikkauskäyrä sekä käyrän projektio xy-tasossa. Varsin käyttökelpoinen tapa monessa yhteydessä. Tätä voi modifioida tarpeen mukaan.
with(plots):
f:=(x,y)->4-x^2-y^2;
x:=r*cos(Theta):y:=r*sin(Theta): Theta:=Pi/4:
pystyleikkaus:=spacecurve({[x,y,f(x,y)],[x,y,0]},r=0..2,thickness=3,
color=blue,axes=BOX)
# HUOM! html:ssa edellinen nakyy vaarin, pitaa olla:
# pystyleikkaus:=spacecurve(Aaltoauki[x,y,f(x,y)],[x,y,0]Aaltokii,r=0..2,...)
# missa Aalto tarkoittaa aaltosulkua,
x:='x':y:='y': # Kannattaa muistaa vapauttaa.
pinta:=plot3d(f(x,y),x=-2..2,y=-2..2):
display([pinta,pystyleikkaus],style=patchcontour,transparency=0.5);
“Tehtävän” Latex-koodi:
../mplteht/mplDiffintV/mplDiV000.tex
Avainsanat: mplDiffintV, Maple:Usean muuttujan funktioiden diff-ja intlaskentaa, vektorimuuttujan funktiot
-
mplDiV0011
mplDiV0011.tex
Mitkä ovat seuraavien funktioiden luonnolliset määrittelyjoukot:
a) \(f(x,y)=\frac{x+y}{x-y}\), b) \(f(x,y)=\ln(1+xy)\) c) \(f(x,y)=\arcsin(x+y)\) .
Piirrä (ensin käsin ja sitten Maplella) tasoon kunkin määrittelyjoukon kuva. Mitä topologisia ominaisuuksia joukoilla on? (avoin, suljettu, rajoitettu, yhtenäinen, joukon reuna, jne.)
Muodosta näiden funktioiden korkeuskäyrien (tasa-arvokäyrien) yhtälöt. Muodosta myös pystyleikkauskäyrät tasojen \(x=1\) ja \(y=1\) kanssa kussakin tapauksessa. Hahmottele käsin ja piirrä Maplella.
Vihje Tasa-arvokäyriä voi piirtää kommennolla contourplot (ensin with(plots))). Lisää Maple-ohjeita 1. “tehtävässä” mplDiV000.tex.
Vaativuus: 1
Tehtävän Latex-koodi:
../mplteht/mplDiffintV/mplDiV0011.tex
Avainsanat: mplDiffintV, Maple:Usean muuttujan funktioiden diff-ja intlaskentaa, vektorimuuttujan funktiot
-
mplDiV0012
mplDiV0012.tex
Onko seuraavilla funktioilla raja-arvo, kun \((x,y)\to (0,0)\) :
\[\textrm{a)}\ \ \frac{x}{|x|+|y|} \qquad \textrm{b)}\ \
\frac{x^2}{|x|+|y|}\]
Suorita Maplella visualisointeja.
Vihje:
Tasa-arvokäyriin: contourplot (ensin with(plots))), pintoihin: plot3d
Lisää Maple-ohjeita alussa “tehtävässä” mplDiV000.
Vaativuus: 1+
Tehtävän Latex-koodi:
../mplteht/mplDiffintV/mplDiV0012.tex
Ratkaisu:
Avainsanat: mplDiffintV, Maple:Usean muuttujan funktioiden diff-ja intlaskentaa, vektorimuuttujan funktiot, korkeuskäyrät, pintapiirros
Maplefunktioita: plots[contourplot], plot3d
-
mplDiV0013
mplDiV0013.tex
Olkoon \(f:\mathbb{R^2} \rightarrow \mathbb{R}\),
\[f(x,y) = \begin{cases}
1,\ \ x^2 < y < 2 x^2, \\
0, \ \ \textit{muulloin} .
\end{cases}\]
Osoita, että funktiolla on sama raja-arvo origossa lähestyttäessä mitä tahansa suoraa pitkin, mutta siitä huolimatta varsinaista raja-arvoa ei ole olemassa. Missä pisteissä funktio on jatkuva ja missä taas ei?
Suorita Maplella visualisointeja.
Vihje: Kulje erityisesti O:sta alkavaa nousevaa sädettä (kulmakerroin posit.) 1. neljänneksessä kulkien sitä alaspäin kohti origoa. Mitä tapahtuu lopulta, kun ollaan riittävän lähellä O:a?
Piirrä kuvaaja funktion rajoittumasta mielivaltaiselle origon kautta kulkevalle suoralle; tutki tätä varten, missä pisteissä ko. suora leikkaa paraabelit \(y = x^2\) ja \(y = 2x^2\). Funktio on epäjatkuva näillä paraabeleilla.
Vaativuus: 2
Tehtävän Latex-koodi:
../mplteht/mplDiffintV/mplDiV0013.tex
Avainsanat: mplDiffintV, Maple:Usean muuttujan funktioiden diff-ja intlaskentaa, vektorimuuttujan funktiot
-
mplDiV0014
mplV0014.tex
(a) Muodosta funktion \(\ln(1+e^{x^2 y^3 z}) \) 1. kertaluvun osittaisderivaatat kaikkien muuttujien suhteen.
(b) Osoita, että funktio \(\arctan \frac{y}{x}\) toteuttaa Laplacen osittaisdifferentiaaliyhtälön
\[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0 .\]
(Tällaisia funktioita sanotaan harmonisiksi funktioiksi.)
Laske ainakin joku käsin ja tarkista kaikki Maplella. Tällaiset mekaaniset, tarkkuutta vaativat tehtävät ovat onnen omiaan CAS-ohjelmille, kuten Maple, Mathematica. Maplen diff hoitelee homman.
-
mplDiV0015
mplDiV0015.tex
(Sama kuin mplV0014-tehtävän b-kohta)
Osoita, että funktio \(\arctan \frac{y}{x}\) toteuttaa Laplacen osittaisdifferentiaaliyhtälön
\[\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0 .\]
(Tällaisia funktioita sanotaan harmonisiksi funktioiksi.)
Oletetaan, että funktioilla \(u(x,y)\) ja \(v(x,y)\) on jatkuvat toiset osittaisderivaatat ja ne toteuttavat ns. Cauchy-Riemannin yhtälöt:
\[\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\ \
\frac{\partial v}{\partial x}= -\frac{\partial u}{\partial y}\]
Osoita, että \(u\) ja \(v\) ovat harmonisia.
Olkoon \(f(x,y) = x^3 y^2 + x^4 \sin y + \cos(xy)\). Laske osittaisderivaatat \(f_{xxy}\), \(f_{xyx}\), \(f_{yxx}\) ja totea, että ne ovat samat.
Vihje:
Sopii sekä käsinlaskuun että Maplelle. Maple olettaa säännöllisyyttä tarpeeksi, jotta sekaderivaatat yhtyvät. Käyttäjän on tiedettävä, mitä pitää olettaa.
Mapletekniikkaa: b) Kirjoita CR-yhtälöt tyyliin
diff(u(x,y),x)=diff(v(x,y),y)
Maplen diff-operattorin täytyy tietää, että lauseke, johon derivointi kohdistuu, sisältää muuttujat x ja y. Muussa tapauksessa se räväyttää ilman muuta tuloksen \(0\) (nolla), joka on samalla tehtävän suorituksen arvo.
Vaativuus: 2-
Tehtävän Latex-koodi:
../mplteht/mplDiffintV/mplDiV0015.tex
Ratkaisu:
../mplteht/mplDiffintV/ratkaisut/mplDiV0015R.pdf
../mplteht/mplDiffintV/ratkaisut/mplDiV0015R.mw
Avainsanat: mplDiffintV, Maple:Usean muuttujan funktioiden diff-ja intlaskentaa, vektorimuuttujan funktiot, osittaisderivaatta, Laplacen yhtälö, Cauhy-Riemannin yhtälöt, harmoniset funktiot, sekaderivaattojen yhtyminen
-
mplDiV0016
mplV0016.tex
Olkoon \(f(x,y) = x^3 y^2 + x^4 \sin y + \cos(xy)\). Laske osittaisderivaatat \(f_{xxy}\), \(f_{xyx}\), \(f_{yxx}\) ja totea, että ne ovat samat.
Voit antaa Maplen laskea.
-
mplDiV0017
mplV0017.tex
Laske yhdistetyn funktion derivoimissääntöä (eli ketjusääntöä, "chain rule") käyttäen \(\frac{\partial w}{\partial s}\) ja \(\frac{\partial w}{\partial t}\), kun
(a) \(w=x\ln(x^2+y^2),\ \ x=s+t, y=s-t\) ,
(b) \(w=e^{x+2y}\sin(2x-y), \ \ x=s^2+t^2, \ \ y=2s^2-t^2\)
Tee käsin ja tarkista Maplella.
-
mplDiV0018
mplV0018.tex
Kolmionmuotoisen maa-alan kahden sivun mitatut pituudet ovat \(224\) m ja \(158\) m ja niiden välinen kulma \(64^\circ\) . Pituusmittauksen virheraja on \(0.4\) m ja kulman \(2^\circ\) . Mikä on pinta-alan likimääräinen suhteellinen maksimivirhe.
Vast: n. \(2\) %
-
mplDiV00191
mplV00191.tex
Työarkilla ../MattieT/mplteht/ohjeet/pintoja.mw (ja .pdf) kohdassa "toinen esimerkki" tarkastellaan funktiota \(f(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}\). Sekä plot3d- että contourplot-kuvat ovat lievästi sanoen harhaisia. (Toki erilaisilla optioilla voi plot3d-kuvaa olennaisesti parantaa.) Selvitä, minkälainen kuvaaja todellisuudessa on. Tarvitset taas sekä Maplea että kynää ja paperia. Piirtele myös pystyleikkauksia, oikeita korkeuskäyriä ym. ***
Hm, tämä on parasta muuttaa tehtäväksi (tai esimerkiksi), ratkaisu on suoraan tuolla, ja uudemmat versiot ovat poistaneet harhat.
***
Usein pintapiirrosta voidaan täsmentää ja tarkentaa ja ymmärtää paremmin, kun piirretään sopivia avaruuskäyriä pinnalle spacecurve:lla.
Alla on esimerkki (sama kuin alussa ohjetiedostossa mplV000.tex), jossa piirretään napasädettä pitkin kulkevan pystytason ja annetun pinnan leikkauskäyrä sekä käyrän projektio xy-tasossa. Varsin käyttökelpoinen tapa monessa yhteydessä. Tätä voi modifioida tarpeen mukaan.
with(plots):
f:=(x,y)->4-x^2-y^2;
x:=r*cos(Theta):y:=r*sin(Theta): Theta:=Pi/4:
pystyleikkaus:=spacecurve({[x,y,f(x,y)],[x,y,0]},r=0..2,thickness=3,
color=blue,axes=BOX)
# HUOM! html:ssa edellinen nakyy vaarin, pitaa olla:
# pystyleikkaus:=spacecurve(Aaltoauki[x,y,f(x,y)],[x,y,0]Aaltokii,r=0..2,...)
# missa Aalto tarkoittaa aaltosulkua,
x:='x':y:='y': # Kannattaa muistaa vapauttaa.
pinta:=plot3d(f(x,y),x=-2..2,y=-2..2):
display([pinta,pystyleikkaus],style=patchcontour,transparency=0.5);
display(pystyleikkaus); # Katsotaan pelkkaa leikkauskayraa.
-
mplDiV00192
mplV00192.tex
Maaston korkeus (merenpinnasta mitattuna) karttakoordinaattien funktiona olkoon \[h(x,y)=-x^2+4xy-8y^2+300.\] Positiivinen x-akseli osoittaa itään ja positiivinen y-akseli pohjoiseen.
Kulkuri K ottaa pisteestä \((1,2,h(1,2))\) lähtöaskeleen kaakkoon. Nouseeko hän vai laskeutuuko?
Tämä on käsinlaskutehtävä, mutta tee Maplella. Havainnollista Maplepiirroksin:
Pintapiirros: plot3d, korkeuskäyrät: contourplot tai implicitplot. Leikkauskäyrä kaakko-luode-suuntaisen pystytason kanssa.
Muodosta funktion \(h(x,y)\) gradienttifunktio (gradienttikenttä). Piirrä gradienttikenttä plots-pakkauksen funktiolla fieldplot. Yhdistä korkeuskäyräpiirros tämän kanssa display-funktion avulla.
Gradienttikentän voi laskea (tietysti käsin) tai derivoimalla Maplen diff:llä tai linalg-pakkauksen funktiolla grad. Ei ole pahitteeksi, jos kokeilet kaikkia tapoja.
-
mplDiV0019a
mplDiV0019a.tex
Osittaisderivoituvan funktion \(f:\mathbb{R^2} \to \mathbb{R}\) gradientti \(\nabla f\) määritellään näin \(\nabla f(x,y)=f_x (x,y) \mathbf{i} + f_y(x,y) \mathbf{j}\) .
Olkoon \(f(x,y)=|xy|\) .
(a) Piirrä tasa-arvokäyrät(korkeuskäyrät) \(f(x,y)=k, k=1,2,3\).
(b) Piirrä \(f\):n gradienttivektoreita \(\nabla f(x,y)\) tasa-arvokäyrien pisteisiin. Kun käytät samaa skaalaa akseleilla (scaling=constrained), pitäisi kuvasta näkyä, miten gradienttivektorin ja korkeuskäyrän suunnat suhtautuvat toisiinsa.
Vihje
Aloita työarkki näin:
> restart:
> with(plots): with(plottools):
> nuoli:=(alkup, loppup,vari)->arrow(alkup,loppup,0.01,0.05,0.02,color=vari);
> korkeuskayra:=k->implicitplot(abs(x*y)=k,x=-2..2,y=-2..2);
> # Maariteltiin grafiikka-arvoinen funktio, usein tosi katevaa!
> kkparvi:=display(seq(korkeuskayra(k),k=1..3);
>
Kts. lisää: mplDi0002Apu.mw
-
mplDiV0019
mplDiV0019.tex
Osittaisderivoituvan funktion \(f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) gradientti \(\nabla f\) määritellään näin
\[\nabla f(x,y)=f_x (x,y) \vec{i} + f_y(x,y) \vec{j}\] .
Olkoon \(f(x,y)=|xy|\) .
(a) Piirrä tasa-arvokäyrät(korkeuskäyrät) \(f(x,y)=k, k=1,2,3\).
(b) Piirrä \(f\):n gradienttikenttävektoreita fieldplot:n avulla samaan kuvaan korkeuskäyräpiirrosten kanssa. Kun käytät samaa skaalaa akseleilla pitäisi kuvasta näkyä, miten gradienttivektorin ja korkeuskäyrän suunnat suhtautuvat toisiinsa.
Vihje:
Gradientti voidaan ladata useastakin kirjastosta. Selvintä on määritellä itse:
gradi2:=(f,x,y)->[diff(f,x),diff(f,y)]
(Voit myös ladata: with(linalg); ja saat käyttöön funktion grad)
with(plots) lataa contourplot- ja fieldplot-funktiot.
Grafiikkojen yhdistäminen:
kuva1:=contourplot(...)
kuva2:=fieldplot(...)
display(kuva1,kuva2);
-
mplDiV001
mplV001.tex
Piirrä seuraavien funktioiden tasa-arvokäyrät:
\(x^3-xy^3\)
\(\sin(x)cosh(y)\)
\( \cos^2(x) \cosh(y)\)
Tasa-arvokäyriä voi piirtää kommennolla contourplot (ensin with(plots)).
-
mplDiV003
mplDiV003.tex
Piirrä avaruuskäyrä \[\mathbf{r}(t) = \frac{\cos t}{t}\,\mathbf{i} + \frac{\sin t}{t}\,\mathbf{j} + \arctan t\,\mathbf{k},\] kun \(t \in [1,T]\) ja \(T = 100\). Määritä käyrän kaarenpituus ja tutki, onko sillä raja-arvoa, kun \(T \rightarrow \infty\).
Vihje: Käyrä on luontevinta kirjoittaa listaksi r = [cos(t)/t,sin(t)/t,arctan(t)] ja laskea kaarenpituus integraalista \(\int |\mathbf{r}'(t)|\,dt\).
-
mplDiV005
Määritä funktion \(f(x,y)=x^2-y\) suurin arvo ympyrällä \(x^2+y^2=1.\) Käytä Lagrangen menetelmää.
(diff, solve, f:= (x,y)->(x2+y). Jos et ehdottomasti osaa Lagrangen menetelmää, lataa with(Student[MultivariateCalculus]) ja tutki LagrangeMultipliers-dokumentaatiota.
-
mplDiV006a
mplDiV006a.tex
(Puhdas päättelytehtävä, “tietokonevapaa”.)
Osoita \(2 \times 2\) symmetrisen matriisin \(A\) tapauksessa, että matriisi on
definiitti (pos. tai neg.), jos ja vain jos \(\det(A) > 0\) ,
indefiniitti, jos ja vain jos \(\det(A) < 0\) ,
semidefiniitti, jos ja vain jos \(det(A)=0\)
Vihje:
Kirjoita
\(A=\left [\begin {array}{cc} a&c\\
c&b
\end {array}\right ]
\) ja muodosta karakteristinen polynomi. Käytä hyväksesi toisen asteen yhtälön juurien ominaisuuksia. (Jos et muista, niin kerro auki \((\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)\).)
Ratkaisu: mplV006aR.pdf ja .mw (html:ssa ratkaisu-linkki)
Vaativuus: 1
Tehtävän Latex-koodi:
../mplteht/mplDiffintV/mplDiV006a.tex
Ratkaisu:
../mplteht/mplDiffintV/ratkaisut/mplDiV006aR.pdf
../mplteht/mplDiffintV/ratkaisut/mplDiV006aR.mw
Avainsanat: mplDiffintV, Maple:Usean muuttujan funktioiden diff-ja intlaskentaa, vektorimuuttujan funktiot, (pos/neg/semi)definiitti matriisi,karakteristinen polynomi
Maplefunktioita: with(LinearAlgebra);alias(IdM = IdentityMatrix, Det = Determinant):
-
mplDiV006b
mplV006b.tex
Määritä seuraavien neliömuotojen matriisit sekä definiittisyys:
(a) \(q(x_1,x_2)=2x_1^2+4x_2^2+x_1x_2\)
(b) \(q(x_1,x_2,x_3)=x_3^2+2x_1x_3+2x_2x_3\)
(c) \(q(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1^2+2x_4^2-4x_2x_3\)
Esitä neliömuodot pääakselikoordinaateissa. Ei ole pahitteeksi, vaikka piirrät joitakin kuvia.
Avainsanat: 1neliomuoto,1pos1neg1definiitti, 1paaakseliprobleema, 1principalaxes,1ominaisarvot,1eigenvalues,1mplVektori
-
mplDiV006c
mplV006c.tex
Mitä kartioleikkausta edustaa yhtälö \(x_1^2+24x_1x_2-6x_2^2=5\)
Muunna yhtälö pääakselimuotoon ja piirrä kuva. (Voit ottaa mallia KRE Exa 6 s. 396 "Transformation to principal axes".)
tai GRE 11.6 s. 589 Voit myös katsoa: http://www.math.hut.fi/teaching/y3/harj/tyo/heigen.html
Muista: Hyperbelin luonteva parametriesitys on \(x=a\cosh t,\ \ y=b\sinh t\)
Maple-ohjeita: harj6ohje.mws -TODO!-
Avainsanat: 1neliomuoto,1pos1neg1definiitti, 1paaakseliprobleema, 1principalaxes,1ominaisarvot,1eigenvalues,1mplVektori
-
mplDiV006
mplDiV006.tex
Lausu neliömuodon \(q(x)=x^T A x\) definiittisyydet symmetrisen matriisin \(A\) ominaisarvojen (merkkien) avulla.
(Määritelmä tehtäväpaperin lopussa (jos opettaja sijoitti), TÄSSÄ: Kokoelman alussa, teht. mplDiV000.)
Vihje Lausu neliömuoto pääakselikoordinaattien \(y_i\) avulla, sitten voit lukea kuin avointa kirjaa.
(Puhdas päättelytehtävä, “tietokonevapaa”.)
Vaativuus: 1
Tehtävän Latex-koodi:
../mplteht/mplDiffintV/mplDiV006.tex
Ratkaisu:
../mplteht/mplDiffintV/ratkaisut/mplDiV006R.pdf
../mplteht/mplDiffintV/ratkaisut/mplDiV006R.mw
Avainsanat: mplDiffintV, Maple:Usean muuttujan funktioiden diff-ja intlaskentaa, vektorimuuttujan funktiot, (pos/neg/semi)definiitit matriisit, ominaisarvot
-
mplDiV007
TV-yhtiö on (pahaa aavistamatta) palkannut matemaatikon seikkailukilpailun juontajaksi. Kilpailussa tehtävänä on kiertää mahdollisimman lyhyt reitti sen kolmion sisällä, jonka kärjet ovat pisteissä \((0,0),(2,0)\) ja \((0,2)\). Lähtö tapahtuu pisteestä \((1,0)\), ja kilpailijan tarvitsee koskettaa jokaista muuta kolmion sivua ja palata sitten alkupisteeseen Määritä lyhin tällainen reitti, ja sen pituus.
Muodosta matkan funktio \(f(x,y)\) – mieti ensin, mitä kuvaa \(x\) ja mitä \(y\), ja sen jälkeen, kuinka etäisyys laskettaisiin (vihje: Euklidinen etäisyys). Tämän jälkeen etsi funktion \(f\) kriittiset pisteet, eli osittaisderivaattojen nollakohdat, ja tutki niiden laatua. Valitse näistä pisteistä minimin tuottava, ja laske pituus.
-
mplDiV010
mplDiV010.tex
Määritä funktion \(f(x,y)=\frac{1}{2+x-2y}\) astetta 2 oleva Taylorin polynomi kehitettynä pisteessä \((2,1)\) Tee 2. asteen polynomi ensin käsin ja sitten Maplella. Kts. myös ohjetiedostoa (tulee).
Vihje:
http://math.aalto.fi/teaching/v/2/02/L/mtaylor.html Usean muuttujan Taylorin polynomeja Maple-avusteisesti (Luentomateriaalia v2/2002)
Vaativuus: 1
Tehtävän Latex-koodi:
../mplteht/mplDiffintV/mplDiV010.tex
Ratkaisu: (Samalla työarkilla myös mplDiV011R)
../mplteht/mplDiffintV/ratkaisut/mplDiV010R.pdf
../mplteht/mplDiffintV/ratkaisut/mplDiV010R.mw
Avainsanat: mplDiffintV, Maple:Usean muuttujan funktioiden diff-ja intlaskentaa, vektorimuuttujan funktiot,Taylorin 2:n muuttujan polynomi
Maplefunktioita: diff, D
-
mplDiV011
mplDiV011.tex
Muodosta funktion \(f(x,y)=\cos(x+\sin y)\) toisen asteen Taylorin polynomi kehitettynä \((0,0)\):ssa. Miten hyvän approksimaaton saat arvolle \(f(0.1,-0.2)\) ? (Vertaa laskimen tai Maplen antamaan arvoon, ei tarvitse miettiä jäännöstermiarviota.)
Määritä funktion \(f(x,y)=\frac{1}{2+x-2y}\) asteita 2,3 ja 4 olevat Taylorin polynomit kehitettynä pisteessä \((2,1)\) (vrt. mplDiV010)
Piirrä funktio \(f(x,y)\) ja eriasteisia Taylorin polynomeja pintapiirrokisna ja/tai korkeuskäyrinä.
Vihje:
a)-kohta on käsinlasku, tarkistukseen siinäkin Maplen diff.
b)-kohta Maplen diff-funktiolla.
Lopuksi voit kokeilla myös mtaylor-komentoa. (Tarkoitus on Maple-avusteinen oppiminen, ei liian valmiiden “nappuloiden” paineleminen.)
Pohjatietoa: http://math.aalto.fi/teaching/v/2/02/L/mtaylor.html Usean muuttujan Taylorin polynomeja Maple-avusteisesti (Luentomateriaalia v2/2002)
Vaativuus: 2
Tehtävän Latex-koodi:
../mplteht/mplDiffintV/mplDiV011.tex
Ratkaisu: (Samalla työarkilla myös mplDiV010R)
../mplteht/mplDiffintV/ratkaisut/mplDiV011R.pdf
../mplteht/mplDiffintV/ratkaisut/mplDiV011R.mw
Avainsanat: mplDiffintV, Maple:Usean muuttujan funktioiden diff-ja intlaskentaa, vektorimuuttujan funktiot,Taylorin 2:n muuttujan polynomi,Usean muuttujan Taylorin polynomi
Maplefunktioita: diff, D, mtaylor, plot3d, contour
-
mplDiV012
mplDiV012.tex
Määritä funktion \(f(x,y)=x^3+y^3-3xy\) kriittiset pisteet (KRP) ja niiden luonne. (min/max/satula/singulaari) Havainnollista piirroksin.
Avainsanat: Kriittiset pistet, min/max, osittaiderivaatta, nollakohta.
Yhtälösysteemin ratkaisu: solve({yht1,yht2},{x,y}); Polynomiyhtälöissä kannattaa usein jatkaa komennolla allvalues. Numeerinen ratkaisu: fsolve
-
mplDiV013a
mplDiV013a.tex
Määritä funktion \[f(x,y)=1/x+1/y+\sin(x^2y^2)\] suurin ja pienin arvo joukossa \(\left[1,2\right]\times \left[1,2\right]\).
Maplen lisäksi kannattaa kokeilla Matlab:lla meshgrid, max/min, find ...-tekniikkaa. Toki ihan optimointiin räätälöityjä funktioitakin kummallakin ohjelmalla. Mutta ensisijaisesti ihan perustekniikoita, please!. (Osoittautuu sitäpaitsi, että minimize-tyyppiset “mustat laatikot” eivät oikein pärjää joka kohdassa.)
Jatkotehtävä: Määritä kaikki kriittiset pisteet yo. alueessa ja niiden luonne (max/min/satula).
Vihje Vaatimattomasta ulkoasustaan huolimatta voi olla hiukan työläs, mutta sitäkin opettavaisempi.
Jatkotehtävässä esiintyy ehkä yllättävääkin käytöstä.
Vaativuus: 3+ (Perusteellinen suoritus vie paljon aikaa.)
Tehtävän Latex-koodi:
../mplteht/mplDiffintV/mplDiV013a.tex
Ratkaisu:
../mplteht/mplDiffintV/ratkaisut/mplDiV013aR.pdf
../mplteht/mplDiffintV/ratkaisut/mplDiV013aR.mw (Maple-worksheet)
Avainsanat: mplDiffintV, Maple:Usean muuttujan funktioiden diff-ja intlaskentaa, vektorimuuttujan funktiot
-
mplDiV013
mplV013.tex
Määritä funktion
\[f(x,y)=\cos x + \cos y\]
kriittiset pisteet (KRP) ja niiden luonne. (min/max/satula/singulaari) Havainnollista piirroksin.
Avainsanat: Kriittiset pisteet, min/max, osittaiderivaatta, nollakohta.
Yhtälösysteemin ratkaisu: solve({yht1,yht2},{x,y});
-
mplDiV014
mplDiV014.tex
Joudut tekemään vastuunalaisen päätöksen mitoista valmistettaessa laatikkoa. Pohjamateriaali on kaksi kertaa niin kallista pinta-alayksikköä kohti kuin sivu- tai kansimateriaali. Millä mitoilla saat V-tilavuuksisen laatikon materiaalikustannukset minimoiduksi? Perustele, että ratkaisusi on globaali minimi joukossa \(\lbrace (x,y) | x>0, y>0 \rbrace\). (Toisia derivaattoja ei välttmättä tarvita.)
Vihje:
Sopii puhtaasti käsinlaskuun, toki saa käyttää Maplea laskuapualaisena.
Joskus solve palauttaa RootOf-muotoisia lausekkeita. Kannattaa yrittää niiden sieventämistä allvalues-komennolla. (Tässä tehtävässä toimii, tosin ihminen osaa tässä tapauksessa nopeamminkin “solvata” ilman apuneuvoja.)
Vaativuus: 2-
Tehtävän Latex-koodi:
../mplteht/mplDiffintV/mplDiV014.tex
Ratkaisu:
../mplteht/mplDiffintV/ratkaisut/mplDiV014R.pdf
../mplteht/mplDiffintV/ratkaisut/mplDiV014R.mw
Avainsanat: mplDiffintV, Maple:Usean muuttujan funktioiden diff-ja intlaskentaa, vektorimuuttujan funktiot,minimointi,optimointi, osittaiderivaatta, nollakohta.
-
mplDiV016
mplV016.tex
Määritä funktion \(f(x,y)=x^3+y^3-3xy\) kriittiset pisteet (KRP) ja niiden luonne. (min/max/satula/singulaari) Havainnollista piirroksin.
Avainsanat: Kriittiset pisteet, min/max, osittaiderivaatta, nollakohta.
Yhtälösysteemin ratkaisu: solve({yht1,yht2},{x,y}); Polynomiyhtälöissä kannattaa usein jatkaa komennolla allvalues. Numeerinen ratkaisu: fsolve
-
mplDiV017
mplV017.tex
Olkoon \(f(x,y)=\frac{x-y}{x+y}\) .
Määritä pinnan \(z=f(x,y)\) tangenttitaso pisteessä \((2,-1)\). Piirrä pinta ja tangenttitaso ja pyörittele ja zoomaa.
Sama pinnalle \(z=\arctan\frac{y}{x}\) pisteessä \((2,2,\pi/4)\).
(Kts. ..H/harj6ohje.mws) -TODO-
Avainsanat: 1mplVektori,1tangenttitaso,1tangent1plane,1several1variables
-
mplDiV018
mplV018.tex
Määritä lieriöiden \[x^2+y^2=2, \ \ y^2 + z^2 =2\]
leikkauskäyrän pisteen \((1,-1,1)\) kautta kulkevan tangentin yhtälö.
Lieriöpinnan piirtäminen sujuu hyvin plot3d:llä. Kannttaa ajatella lieriö (kahdesta parametristä riippuvana) parametrimuotoisena pintana. Ensimmäisen lieriön luonnollinen parametriesitys on \(x=\sqrt{2}\cos t,
y=\sqrt{2}\sin t, z=z\). Tässä siis \(t\) ja \(z\) ovat parametreja.
Edellinen voisi näyttää tältä:
plot3d([sqrt(2)*cos(t),sqrt(2)*sin(t),z],t=0..2*Pi,z=c..d);
Jälkimmäinen vastaavasti. Kuvat yhdistetään:
display(kuva1,kuva2);
Huom! plot3d on monipuolinen funktio, sille voi antaa pinnan muodossa \(f(x,y)\), mutta myös parametrimuodossa yllä kaavailtuun tapaan.
-
mplDiV05
Määritä funktion \(f(x,y)=x^2-y\) suurin arvo ympyrällä \(x^2+y^2=1.\) Käytä Lagrangen menetelmää.
(diff, solve, f:= (x,y)->(x2+y). Jos et ehdottomasti osaa Lagrangen menetelmää, lataa with(Student[MultivariateCalculus]) ja tutki LagrangeMultipliers-dokumentaatiota.