-
mplCF01
mplCF01.tex [Sama Matlab:lla: ...mlCF01.tex]
Hermiten interpolaatio: Interpolaatioehdoissa esiintyy myös derivaattoja.
Määritä 4. asteen polynomi \(p\), joka toteuttaa ehdot: \[p(0) = p'(0)= 1, p(1)=p'(1)=p''(1)=2.\]
(a) Käsittele polynomi lausekkeena.
Tarkista tulos sopivasti subs-komennoilla ja piirrä kuva/kuvia polynomista ja derivaatoista.
(b) Käsittele polynomi funktiona.
Huom: 5 ehtoa ja 5 tuntematonta kerrointa \(\implies\) järkevän tuntuinen tehtävä. Yleisesti “järkevälläkään” Hermiten interpolaatiotehtävällä ei aina ole yksikäsitteistä ratkaisua (kuten ei neliömatriisin määräämällä lineaarisella yhtälöryhmälläkään – siitähän on kyse). Pelkkiä funktion arvoja koskevalla interpolaatiotehtävällä aina on (koska “Vandermonden neliömatriisi” on aina ei-singulaarinen).
Tässä opetellaan erityisesti Maplen kätevää ratkaisutekniikkaa.
Vihje
Kirjoita polynomi lausekkeeksi tyyliin:
p:=a*x^4+b*x^3 + .... ,
missä \(a,b,\ldots, e\) ovat määrättävät kertoimet.
Derivaatta: diff
Arvojen (x=0,x=1) sijoittaminen p:n lausekkeeseen: subs
Yhtälön ratkaiseminen: solve
Kaikista saat tietoa näin ?diff, ...
Vaativuus: 1+
Tehtävän Latex-koodi:../mplteht/mplCurveFit/mplCF01.tex
Ratkaisu:
pdf-muodossa
mw-tiedosto
Avainsanat:MapleCF, Curve fitting,käyrän sovitus, interpolaatio
-
mplCF03
[Sama Matlab:lla ...mlCF15.tex]
Opettajalle: (a)-kohta sopii ensitutustumiseen.
(b)-kohta on sikäli huono, että virhetermin suuruusluokka on toisesta maailmasta (opettavaista kylläkin, mutta alkajaisiksi vaatii ainakin varoituksen).
Lisää tehtävän opetuksia ratkaisutiedostoissa.
(a) Muodosta interpolaatiopolynomi pisteistölle, joka saadaan laskemalla funktion \(\cos (1+x^2)\) arvot tasavälisessä x-pisteistössä, jossa on 7 pistettä välillä \([0,3]\).Piirrä samaan kuvaan funktio, datapisteet ja interpolaatiopolynomi.
(b) Arvioi (Lagrangen) interpolaatiokaavan virhetermin avulla interpolaatiovirheen yläraja yo. välillä ja vertaa todelliseen.
Lause Olkoot \(x_0,x_1,\ldots,x_n\) erilliset pisteet ja \(f\) \((n+1)\) kertaa jatkuvasti derivoituva funktio \(x_k-\)pisteet sisältävällä välillä. Jos \(p_n\) on (1-käs) dataan \((x_k,f(x_k))\) liittyvä interpolaatiopolynomi, niin \[f(x)-p_n(x) = \frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)(x-x_1) \cdots
(x-x_n).\]
Tässä on mahdollista harrastaa Maplen ja Matlabin yhteistyötä. Virhekaavan derivaatta muodostetaan tietysti Maplella ja lauseke sievennetään. Itse asiassa piirtämällä ja poimimalla kuvasta maksimipisteen koordinaatit, saadaan riittävän hyvä arvio.
Toinen mahdollisuus on käyttää Matlabin symbolic toolboxia.
Tulotermin voisi hoitaa tehokkaimmin Matlabissa ottamalla tiheän diskretoinnin ja käyttämällä max-funktiota. Maplessakin on max-funktio, lakenta on Matlabissa tehokkaampaa.
Miten tulotermi lasketaan Matlabissa? Vaikka tähän tapaan:
1. x=linspace(....,N)
2. Tedään matriisi X, jossa x-vektoreita allekkain n+1 kpl.
3. Tehdään matriisi X0, jossa rivit
x0 x0 ... x0 N kpl.
x1 x1 ... x1 N kpl.
...
xn xn ... xn N kpl.
Nämä syntyvät vaikka meshgrid-komennolla tai ulkotuloilemalla ykköspystyvektorilla.
4. Vähennetään matriisit ja prod()). Sitten vain abs ja max kehiin.
Tosi Matlabmaista! (Ei moitita, vaikka tekisit for-loopin, vain 8 kertaa käydään, mutta hyvä ymmärtää Matlabin hienoa matriisiajattelua, muistiahan ei nykyisin tarvitse säästellä.)
Tehtävän Latex-koodi:
../mplteht/mplCurveFit/mplCF03.tex
Ratkaisu:
pdf-muodossa
mw-tiedosto
Avainsanat: Interpolaatio, käyrän sovitus, interpolaatiovirhe, Lagrange MapleCF, Curve fitting
-
mplCF07
mlCF07.tex/mplCF07.tex [ H2T12.tex (kevät 2012)]
Matlab,Maple,[Mathematica]
W.A Mozartin(1756-1791) sävellyksiä indeksoidaan Köchel-luvuilla, jotka ilmaisevat teosten sävellysjärjestyksen. Alla on eräitä Köchel-lukuja, ja vastaavien teosten sävellysvuosia.
Number Year
1 1761
75 1771
155 1772
219 1775
271 1777
351 1780
425 1782
503 1786
575 1789
626 1791
Käyttäen tätä dataa, arvioi teoksen Sinfonia Concertanten sävellysvuosi, kun tiedetään, että sen Köchel-numero on 364.
Vihje:
Piirrä ensin datapisteet tasoon, ja päätä millaista menetelmää kannattaa käyttää. Epäilemättä sopivan asteista PNS-polynomia. Suorita joitakin sovituksia, ja tarkista sitten tulos vaikka Wikipediasta.
Vaativuus: 2
Tehtävän Latex-koodi:
../mplteht/mplCurveFit/mplCF07.tex
Avainsanat:MapleCF, Curve fitting,käyrän sovitus, interpolaatio, ... add more ...
-
mplCF11
mplCF11.tex
Maple tai Matlab
Tutkitaan nk. Rungen ilmiötä. Laske funktion \(g(x) = 1/(1+x^2)\) arvoja tasaisin välein väliltä \([-5,5]\), ja tee näihin pisteisiin perustuva polynominen interpolaatio. Piirrä sekä \(g(x)\) että \(P(x)\) samaan kuvaan. Mitä huomaat, kun valittujen datapisteiden määrää tihennetään?
Kokeile interpolointia silloin, kun datapisteitä ei valita tasavälisesti, vaan ne valitaan Chebyshev-pisteiden \[x_j = 5 \cos(\frac{j \pi}{N}), j = 0\ldots N\] mukaan.
Vihje
Polynomi-interpolaatio kannattaa tehdä MATLAB-funktiolla polyfit. Funktio \(g\) kannattaa määritellä funktiokahvan avulla: g = @(x)1./(1+x.^2). Tasavälisiä pisteistä saa funktiolla linspace
Vaativuus: 2-
Tehtävän Latex-koodi:../mplteht/mplCurveFit/mplCF11.tex
Avainsanat:MapleCF, Curve fitting,käyrän sovitus, interpolaatio
-
mplCF13
H2T14.tex/mlCF13.tex/mplCF13.tex
Matlab,Maple,[Mathematica]
Yhdysvaltojen perustuslaki vaatii, että maassa suoritetaan joka kymmenes vuosi väestönlaskenta. Ohessa on väestönlaskennan tuloksia sadoissa miljoonissa asukkaissa viime vuosisadalta.
| 1900 |
1910 |
1920 |
1930 |
1940 |
1950 |
1960 |
1970 |
1980 |
1990 |
| 76 |
92 |
106 |
122 |
132 |
150 |
179 |
203 |
226 |
248 |
Tee polynomi-interpolointi datalle, ja ennusta väestön määrä vuonna 2010. Kuinka ennusteesi suhtautuu laskennan todelliseen tulokseen: 308,745,538 laskettua asukasta?
Sovita myös eriasteisia PNS-polynomeja, vrt. Matlab Censusgui, lue Molerista:
http://www.mathworks.se/moler/interp.pdf Moler: Num. Comp. with Matlab, interpolation
Vaativuus: 2
Tehtävän Latex-koodi:
../mplteht/mplCurveFit/mplCF13.tex
Ratkaisu:
../mplteht/mplCurveFit/ratkaisut/mplCF13R.pdf
../mplteht/mplCurveFit/ratkaisut/mplCF13R.mw [mw-tiedosto, lataa Mapleen]
Avainsanat:MapleCF, Curve fitting,käyrän sovitus, interpolaatio