MattieT-tehtäväportaali


Yhteydenotot:

Heikki Apiola
Dept. of Math. Sci.
Aalto-yliopisto
heikki.apiola'at'aalto.fi

Juha Kuortti
Dept. of Math. Sci.
Aalto-yliopisto
juha.kuortti 'at' aalto.fi

Miika Oksman
Dept. of Math. Sci.
Aalto-yliopisto
miika.oksman 'at' aalto.fi

Matlab/Diff-int 1

Käytön idea: Kun löydät mieleisesi tehtävän, sen alapuolella on linkki tex-tiedostoon. Lataa tiedosto, ja liitä se harjoituspohjaan tai omaan Latex-pohjaasi

Sisällysluettelo


  1. mlDi013

    mlDi013.tex
    Määritä funktion \(f(x) = \arcsin(2x\sqrt{1-x^2})\) suurin ja pienin arvo välillä \([-1,1]\).

    Vihje:
    \(\arcsin\) on Mathematicassa ArcSin, Maplessa arcsin ja Matlabissa asin.
    Käytä symboliohjelmissa perinteistä “diffistekniikkaa” kuvan kanssa, Matlab:ssa raakaa “numeronmurskausta” tyyliin: linspace, plot, zoom, uusi linspace kapeammalla välillä, find, ...

    Vaativuus: 1+
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mlteht/mlDiffint1/mlDi013.tex

    Ratkaisu:
    ../mlteht/mlDiffint1/ratkaisut/mlDi013R.pdf
    ../mlteht/mlDiffint1/ratkaisut/mlDi013R.m

    Avainsanat: mlDiffint1,Matlabdiffint1, Differentiaali- ja integraalilaskentaa Matlab:lla, calculus1, analysis1, looginen indeksointi, minimi/maksimi

    Matlabfunktioita: find, fminsearch


  2. mlDi030

    mlDi030.tex

    Muista, että funktion \(f\) derivaatta pisteessä \(x_0\) määritellään seuraavasti: \[f'(x_0)=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} .\] Kuinka laskisit derivaatan numeerisesti? Kirjoita MATLAB funktio joka laskee annetun funktion derivaatan.

    Kokeile laskea funktion \(f(x)= \sin(x)\) ja vertaa saamaasi tulosta derivaatan tarkkaan arvoon \(f'(x)=\cos(x)\). Tuottaako pienempi \(h\):n arvo parempia tuloksia?

    Keksitkö keinoa jolla laskea toinen derivaatta numeerisesti? Entä vektorifunktioiden derivointi?

    Vihje Muista, että alkioittaiset operaatiot ilmoitetaan pisteellä.

    Huom! Numeerinen derivointi on numeerisesti epästabiili ongelma johtuen siitä, että jatkuvan funktion erotusosamäärä on rajalla tyyppiä \(\frac{0}{0}\). Jos \(h\) on lähellä likulukulaskennan suhteellista virherajatarkkuutta, Matlab:ssa muuttuja eps, niin tulos voi mennä kohti metsikköä. Tätäkin voit tutkia lähemmin.

    Opettajalle: Tehtävästä kannattaa poimia tarpeen mukaan ja sopivasti muokaten soveltuvia osia.

    Vaativuus: 1+...2
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mlteht/mlDiffint1/mlDi030.tex

    Avainsanat: mlDiffint1,Matlabdiffint1, Differentiaali- ja integraalilaskentaa Matlab:lla, calculus1, analysis1, differenssiapproksimaatio, erotusosamaara, erotusosamäärä, numeerinen derivaatta

    Matlabfunktioita: diff


  3. mlDi05

    mlDi05.tex

    Ohjelmat:
    Maple,Mathematica , Matlab (erityisesti b)-kohta).
    (Kurssi: 2012 kevät H/H2T15.tex)

    Laske integraali \[\int_0^{2\pi} \frac{\cos x}{13 - 12\cos 2x}\,dx\] a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo?

    Vihje:

    Mathematica:
    Symbolinen integrointi tapahtuu funktiolla Integrate, numeerinen funktiolla NIntegrate. Jälkimmäisessä sovelletaan suoraan jotakin numeerisen integroinnin menetelmää, jonka valintaan myös käyttäjä voi vaikuttaa. Ks. dokumentaatiota, erityisesti Implementation Notes.

    Maple:
    Symbolinen integrointi tapahtuu funktiolla int, numeerinen funktiolla int(...,type=numeric) tai evalf(Int(...)). Jälkimmäisessä sovelletaan suoraan jotakin numeerisen integroinnin menetelmää, jonka valintaan myös käyttäjä voi vaikuttaa.

    Matlab:
    Integrandi määritellään funktioksi (helpoimmin funktiokahvaksi). Sitten help integral, doc integral, myös quad-alkuiset. Voidaan myös integroida symbolisesti (symbolic toolbox tarvitaan, on Aallossa): syms x, int(f(x),a,b)

    Vaativuus: 1+
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mlteht/mlDiffint1/mlDi05.tex

    Ratkaisu:
    ../mlteht/mlDiffint1/ratkaisut/mlDi05R.pdf
    ../mlteht/mlDiffint1/ratkaisut/mlDi05R.m

    Avainsanat: mlDiffint1,Matlabdiffint1, Differentiaali- ja integraalilaskentaa Matlab:lla, calculus1, analysis1

    Matlabfunktioita: integral, quad.., syms x, int(f(x),a,b)


  4. mlDi051

    mlDi051.tex [Moler NCM Probl. 6.6 p. 180]

    “Error function”, erf määritellään integraalina: \[\mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2} dt.\]

    Tunnetusti integrointia ei voida suorittaa ns. “suljetussa muodossa”, mutta sille on kehittyneissä matemaattisissa ohjelmistoissa luotettava numeerinen laskentaohjelmansa, niin myös Matlab:ssa.

    Käytä Matlab:n numeerista integrointifunktiota integral taulukoidaksesi erf-funktion arvoja \(x\):n arvoilla \(0.1,0.2,\ldots 1.0 .\) Vertaa Matlab:n erf-funktion arvoihin samoissa pisteissä.

    Vihje: help integral (help quad), help erf

    Vaativuus: 2
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mlteht/mlDiffint1/mlDi051.tex

    Avainsanat: mlDiffint1,Matlabdiffint1, Differentiaali- ja integraalilaskentaa Matlab:lla, numeerinen integrointi, erf

    Matlabfunktioita: integral, erf


  5. mlDixxx

    mlDixxx.tex
    Template file
    Let \[\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1&2&3\\ 4 &5&6\\ 7&8&9 \end{bmatrix}.\] What can you say ...

    Vaativuus: 1 - 3+
    Tehtävän Latex-koodi:
    ../mlteht/mlLinalg/mlDixxx.tex

    Avainsanat, keywords: Matlab, Diffint1, yhden muuttujan diffint, differentiqal calculus, functions of one variable