-
mplDi001
mplDi001 (old mplDi0001.tex)
(Kurssi: 2012 kevät H/H2T15.tex) Määritä funktion \(p(x)=x^3 -4 x^2 +4x -1\) nollakohdat ja lokaali max/min. Piirrä funktion ja derivaatan kuvaajat.
Vihje: solve,evalf,diff,plot. Yksinkertaisinta ehkä käsitellä lausekkeena, mutta saat kokeilla myös funktiotapaa.
Vaativuus: 1
Tehtävän Latex-koodi:
../mplteht/mplDiffint1/mplDi001.tex
Ratkaisu:
../mplteht/mplDiffint1/ratkaisut/mplDi001R.pdf
../mplteht/mplDiffint1/ratkaisut/mplDi001R.mw Maple worksheet,mw-tiedosto
Avainsanat:MapleDiffint1, mplDifferentiaali1,mplIntegraali1, lauseke, funktio
-
mplDi002
mplDi002 (ent. mplDi0002) Olkoon \[f(x)=x^2 \sin(\pi x).\]
Laske \(f^{'}(4)\) käyttäen diff ja subs - komentoja. Laske tarkka arvo ja likiarvo. Muista: Pi edustaa vakiota \(\pi\), pi edustaa vain vastaavaa kreikkalaista kirjainta ilman semantiikkaa.
Sama D-operaattorin avulla.
Miten voit a)-kohdassa muuttaa tuloksen derivaattafunktioksi?
Määritä \(f^{'}(4)\) erotusosamäärän raja-arvona.
Vihje Komentoja: diff,D,subs,eval,evalf,limit
Funktiomääritykset: f:=x->lauseke(x)
(vrt. Matlab: f=@(x) lauseke(x))
Lausekkeen muuttaminen funktioksi “jälkikäteen”:
F:=unapply(lauseke(x),x
(lauseke(x) tarkoittaa lauseketta, jossa esiintyy symboli x.)
Huom! Uudet Maple-versiot (16 alkaen) armahtavat käyttäjää myös aiemmin ankarin kielloin varoitetusta funktiomäärityksen muodosta tyyliin:
f(x):=x*sin(x) Maple ystävällisesti kysyy, haluatko oikeasti määritellä funktioksi (ja 99%:ssa tapauksista vastaus on YES! (Uskallan sanoa.))
Vaativuus: 1
Tehtävän Latex-koodi:
../mplteht/mplDiffint1/mplDi002.tex
Ratkaisu:
../mplteht/mplDiffint1/ratkaisut/mplDi002R.pdf
../mplteht/mplDiffint1/ratkaisut/mplDi002R.mw
Avainsanat:MapleDiffint1, mplDifferentiaali1, Mapleperusteet, lauseke/funktio
Maplefunktioita: diff,D,subs,eval,evalf,limit
-
mplDi003
mplDi003 (ent. mplDi0051.tex) (PA, P1, tharj. 2, s. 2011)
Harjoituksessa käytetään Maple-ohjelmaa. Toisen harjoituksen tavoitteena on syventää tietoja funktioiden käsittelystä: aiheina ovat mm. derivointi, maksimointi, yhtälöiden ratkaiseminen (ja iterointi jos jää aikaa). Avaa Viikkoharjoitukset-sivulla oleva työarkki ja käy läpi siinä olevat esimerkit ja tehtävät. Sen jälkeen voit siirtyä alla oleviin tehtäviin, mikäli aikaa riittää.
Klikkaa hiirellä Viikkoharjoitukset-sivun tiedostoa maple2.mw
(tässä ../mplteht/mplDiffint1/apusrc/mplDi0051Pohja.mw , ja avaa se Maple-ohjelmalla. Käy läpi työarkin tehtävät ja siirry sen jälkeen alla oleviin tehtäviin.
Putoavan kappaleen nopeus \(v=v(t)\) toteuttaa differentiaaliyhtälön \(mv'(t)=mg-kv(t)^2\), jos positiivinen suunta on alaspäin ja ilmanvastus on verrannollinen nopeuden neliöön kertoimella \(k>0\).
a) Osoita, että funktio \[v(t)=\sqrt{\frac{mg}{k}}\tanh\left( \sqrt{\frac{gk}{m}}\ t\right)\] toteuttaa vaaditun differentiaaliyhtälön.
b) Mikä on rajanopeus \(\lim_{t\to\infty}v(t)\)?
Vihje: simplify-käsky ei tee sievennyksiä aivan loppuun, koska se ei tiedä, ovatko \(m,g,k\) positiivisia. Lisää käsky assume(m>0 and k>0 and g>0) ja kokeile sievennystä sen jälkeen.
Kuulantyönnön tulos riippuu kuulan alkunopeudesta \(v\), lähtökorkeudesta \(h\) ja työnnön suuntakulmasta \(x\) seuraavan lausekkeen mukaisesti: \[f(x ) = \frac{v\cos x
\left( v\sin x +\sqrt{v^2\sin^2 x+2hg} \, \right) }{g},\] missä \(x \in [-\pi /2, \pi /2]\). Käytetään SI-järjestelmän yksiköitä ja oletetaan, että \(h=2\), \(v=14\) ja \(g= 9.81\). Määritä työnnön optimaalinen suuntakulma ja maksimitulos.
Kannattanee edetä seuraavien vaiheiden mukaan:
Määrittele \(f\) funktiona; älä sijoita lukuarvoja tässä vaiheessa, niin voit tarkistaa, että lauseke on oikein.
Sijoita lukuarvot \(h, v, g\).
Piirrä funktion \(f\) kuvaaja välillä \(-\pi /2 \le x \le \pi /2\) ja tarkista, että se näyttää järkevältä. (Yleinen virhe: kertomerkkejä puuttuu!)
Ratkaise maksimi normaaliin tapaan muodostamalla yhtälö \(f'(x)=0\), jonka ratkaiset numeerisesti fsolve-käskyllä.
Kokeile myös “mustaa laatikkoa” maximize ja vertaa.
Muuta saatu kulma asteiksi ja mieti, onko tulos järkevä.
Vaativuus: 2
Tehtävän Latex-koodi:
../mplteht/mplDiffint1/mplDi003.tex
Ratkaisu:
../mplteht/mplDiffint1/ratkaisut/mplDi003R.pdf
../mplteht/mplDiffint1/ratkaisut/mplDi003R.mw
Aputiedostoja:
../mplteht/mplDiffint1/apusrc/mplDi003Pohja.mw
../mplteht/mplDiffint1/apusrc/mplDi003Pohja.pdf
Avainsanat: mplDiffint1, PeruskurssiP1,diff,simplify,subs,plot,Pi,assume
-
mplDi004
mplDi004 (ent. mplDi001)
([HAM] ss. 48-50)
Funktiolausekkeen derivaatta muodostetaan diff-komennolla.
Määritä seuraavien funktioiden 1. ja 2. derivaatta ja sievennä tulokset simplify-komennolla.
\[6x^3+3x^2-2x+1
, \ \ {\frac {x+1}{{x}^{2}+1}}
,\ \ \cos(x^2+1)
,\ \ \arcsin(2x+3)
,\ \ \sqrt{1+x^4}
,\ \ \arctan x\]
Voit myös kirjoittaa lausekkeen työarkille, koskettaa sitä hiiren oikealla “context sensitive” näppäimellä, jolloin saat joukon Maple-komentoja, mm. diff, simplify ym.
Vaativuus: 1
Tehtävän Latex-koodi:
../mplteht/mplDiffint1/mplDi004.tex
Ratkaisu: (Ei tarpeen)
Viitteet:
[HAM] Heikki Apiola: Symbolista ja numeerista matematiikkaa Maple-ohjelmalla, Otatieto 588, 1998.
Avainsanat, Maplefunktioita: Mapleperusteet, Maplediffint, lauseke, symbolinen derivointi, diff, simplify
-
mplDi005
mplDi005 (ent. mplDi002)
Olkoon \(f(x)=x^2-4.\) Muodosta integraalifunktiot
\[\int f(x)\, dx , \ \ \ \int \frac{dx}{f(x)} .\]
Tarkista tulokset derivoimalla.
int ja Int. Voit myös aloittaa: int <ESC-näppäily>, saat valikon, josta valitset \(\int\)-merkin ja täydennät luonnollisen tapaan. Käytä simplify-komentoa tarvittaessa.
Vaativuus: 1-
Tehtävän Latex-koodi:
../mplteht/mplDiffint1/mplDi005.tex
Avainsanat: Maplediffint1, mplDiffint1, int,Int,Mapleperusteet
-
mplDi006
mplDi006 (ent. mplDi003)
Määritä seuraavat integraalit:
\[\int_0^\infty e^{-t}\, dt \ \ \mathrm{ja} \ \ \int_0^\infty e^{-t^2}\, dt .\]
Ääretön: infinity.
Huom: Voit kirjoittaa int(ESC), saat valikon, josta voit valita määrätyn integraalimerkin, rajojen paikalle kirjoitat sopivasti, ylärajan voit aloittaa infi(ESC), jolloin Maple antaa taas valikon, josta voit valita \(\infty\)-symbolin.
Toki voit kirjoittaa “vanhan hyvän ajan tapaan” int(f,t=0..infinity);
Vaativuus: 1-
Tehtävän Latex-koodi:
../mplteht/mplDiffint1/mplDi006.tex
Avainsanat, Maplefunktioita: MapleDiffint1, mplDifferentiaali1,mplIntegraali1,perusMaple, int,Int,infinity
-
mplDi007
mplDi007 (ent. 004)
Laske seuraavat integraalit. Määräämättömien integraalien tapauksessa tarkista tuloksesi derivoimalla. Määrätyissä integraaleissa, joista Maple ei suoriudu voit käyttää numeerista integrointia. Laske joitakin esimerkkejä (kuten h-kohta) “symbolisesti” ja sitten tulokselle numeerinen likiarvo ja toisaalta suoraan numeerisesti.
Huomaa, että ns. “suljettu muoto” on nykyisin epämääräinen käsite, sillä useat “perinteisesti mahdottomat” integraalit voidaan lausua Maple:n tuntemien erikoisfunktioiden (kuten erf) avulla.
a) \(\int_0^{\pi/2} \sin x dx\) b) \(\int x\cos x^2 dx \)
c) \(\int sin 3x \sqrt{1-\cos 3x}dx \) d)\(\int \ln x dx\)
e) \(\int x^2\sqrt{x+4}dx\)f) \(\int_0^1\sqrt{x^4+1}dx\)
g) \(\int_0^\pi e^{\cos x}dx\) h) \(\int_{-\infty}^
\infty e^{-x^2} dx\)
Vihje:
Integrointikomento on int. Lisäksi on komennon muoto Int, joka on ns. “hidas muoto” int:stä (“inert function”).
Numeerinen integrointi[numintteht] saadaan aikaan yhdistelmällä evalf(Int(...)) tai int(,...,numeric).
Muoto evalf(int(...)) yrittää ensin symbolista, ja evaluoi tuloksen. Jos symbolinen ei onnistu, integroi numeerisesti. Siksi saattaa olla paljon tehottomampi numeeriseen integrointiin. Vaativuus: 2-
Tehtävän Latex-koodi:
../mplteht/mplDiffint1/mplDi007.tex
Avainsanat: mapleDiffint1, mplDiffint1, symbolinen integrointi, numeerinen integrointi, epäoleellinen integraali, int, Int, erikoisfunktio, erf, infinity
-
mplDi008
mplDi008 (ent. mplDi005)
Maple, Mathematica , Matlab (erityisesti b)-kohta).
(Kurssi: 2012 kevät H/H2T15.tex)
Laske integraali \[\int_0^{2\pi} \frac{\cos x}{13 - 12\cos 2x}\,dx\] a) symbolisesti, b) numeerisesti. Piirrä integroitavan funktion kuvaaja. Mikä itse asiassa on integraalin arvo?
Mathematica:
Symbolinen integrointi tapahtuu funktiolla Integrate, numeerinen funktiolla NIntegrate. Jälkimmäisessä sovelletaan suoraan jotakin numeerisen integroinnin menetelmää, jonka valintaan myös käyttäjä voi vaikuttaa. Ks. dokumentaatiota, erityisesti Implementation Notes.
Maple:
Symbolinen integrointi tapahtuu funktiolla int, numeerinen funktiolla int(...,type=numeric) tai evalf(Int(...)). Numeerisessa sovelletaan suoraan jotakin numeerisen integroinnin menetelmää, jonka valintaan myös käyttäjä voi vaikuttaa.
Esim: evalf(Int(f, x = 0 .. 2, digits = 20, method = _Dexp))
Matlab:
Integrandi määritellään funktioksi (helpoimmin funktiokahvaksi “function handle”). Sitten quad-alkuiset Matlab-funktiot.
Vaativuus: 1+
Tehtävän Latex-koodi:
../mplteht/mplDiffint1/mplDi008.tex
Ratkaisu:
../mplteht/mplDiffint1/ratkaisut/mplDi008R.pdf
../mplteht/mplDiffint1/ratkaisut/mplDi008R.mw
Viitteet:
http://math.tkk.fi/ apiola/matlab/opas/lyhyt/m-files.html (Lyhyt Matlab opas:funktiokahva, function handle)
Avainsanat: Symbolinen integrointi, numeerinen integrointi, funktiot, lausekkeet,MapleDiffint1, mplDifferentiaali1,mplIntegraali1
-
mplDi009
mplDi009 (ent. mplDi006.tex) (Maple, Mathematica)
Laske integraali
\[\int \sqrt{x^4 -2}\, dx\]
Yritä sieventää tulosta (äläkä masennu, kun ei sievene). Derivoi, sievennä ja hämmästy!
Vihje
Funktiot int (ja Int).
Tehtävä näyttää kovin viattomalta, mutta tulos voi yllättää ja lisätä kunnioitusta Maplen kykyihin. Samalla näkyy, että integroinnin ns. “suljettu muoto” on nykyohjelmissa huomattavasti laajentunut entisajoista.
Vaativuus: 1
Tehtävän Latex-koodi:
../mplteht/mplDiffint1/mplDi006.tex
Avainsanat: MapleDiffint1, integrointi, erikoisfunktiot
-
mplDi010
mplDi010 (ent. mplDi007.tex)
[Isr] s. \(46\)
Ilmapallon tilavuus kasvaa nopeudella \(10 cm^3/s\). Millä nopeudella säde kasvaa hetkellä, jolloin pallon pinta-ala on \(200 cm^2\)?
Vihje
Periaate: \(V(t)={\frac{4}{3}}\pi r(t)^3\), \(A(t)=4\pi r^2\). Derivoidaan: \(V'(t)=\) lauseke, jossa esiintyy \(r(t)\) ja \(r'(t)\) (implisiittinen derivointi). Tästä saadaan yksi yhtälö, josta voidaan ratkaista \(r'\) \(V'\):n (tunnettu) ja \(r\):n avulla. \(r\) saadaan pinta-alaehdosta.
Voit aloittaa vaikka näin:
V:=(4/3)*Pi*r(t)^3; A:=4*Pi*r(t)^2;
yht1:=10=diff(V,t);yht2:=200=A;
Huomaa, että diff soveltaa implisiittistä derivointia tuntemattomaan funktioon \(r(t)\).
Vaativuus: 2
Tehtävän Latex-koodi:
../mplteht/mplDiffint1/mplDi010.tex
Ratkaisu:
../mplteht/mplDiffint1/mplDi010R.mpltxt(Maple-komennot tekstimuodossa)
Viitteet: [Isr] Robert Israel: Calculus: The Maple Way, Addison Wesley
Avainsanat: MapleDiffint1, implisiittinen dervointi
-
mplDi011
mplDi011 (ent. mplDi008.tex)
Missä pisteissä Cartesiuksen lehden \(x^3+y^3=3 x y\) tangentin suuntakulma jonkin koordinaattiakselin suhteen on \(=45^\circ\) ? Piirrä sekä käyrä että ko. tangentit (ainakin joku tangentti).
Vihje
Implisiittinen derivointi ja numeerinen yhtälön ratkaisu fsolve lienevät paikallaan. Huomaa, että diff soveltaa implisiittistä derivointia tuntemattomaan funktioon \(y(x)\) (tai \(x(y)\)).
Vaativuus: 2
Tehtävän Latex-koodi:
../mplteht/mplDiffint1/mplDi011.tex
Luokittelu, avainsanat: MapleDiffint, implisiittinen derivointi, yhtälön numeerinen ratkaisu, fsolve
-
mplDi012
mplDi012 (ent. mplDi009.tex) (Maple, Mathematica)
Muodosta funktion \(f(x) = \arctan\sqrt{\dfrac{1 - \cos x}{1 + \cos x}}\) ensimmäinen ja toinen derivaatta. Piirrä funktion ja derivaattojen kuvaajat.
Derivaatat ovat aluksi todella sotkuisia. Käytä komentoa simplify siistiäksesi tulostusta.
Kuvat saattavat yllättää ja johdatella pohtimaan, miksi?
Vaativuus: 1+
Tehtävän Latex-koodi:
../mplteht/mplDiffint1/mplDi012.tex
Ratkaisu:
../mplteht/mplDiffint1/mplDi012R.mpltxt
Avainsanat: MapleDiffint1, mplDifferentiaali1, diff, simplify, plot, peruskurssi1
-
mplDi013
mplDi010.tex [mmaDi104/mplDi11/mlDi11] ** Tarkista, korjaa **
Määritä funktion \(f(x) = \arcsin(2x\sqrt{1-x^2})\) suurin ja pienin arvo välillä \([-1,1]\).
Käytä symboliohjelmissa perinteistä “diffistekniikkaa” kuvan kanssa, Matlab:ssa raakaa “numeronmurskausta” tyyliin: linspace, plot, zoom, uusi linspace kapeammalla välillä, find, ...
\(\arcsin\) on Mathematicassa ArcSin, Maplessa arcsin ja Matlabissa asin.
Symbolilaskentaohjelma saattaa johtaa oikeaan tulokseen puutteellisin perustein, jos tarkkoja ollaan.
Tämän kohdan ratkaisulinkissä Maple-ratkaisu, Matlab-ratkaisu vastaavassa Matlab-kohdassa (../../matlabteht/mlDiffint/mlDi010R.m ja .pdf)
Vaativuus: 1-3+
Tehtävän Latex-koodi:
../mplteht/mplDiffint1/mplDi010.tex
Ratkaisu:
pdf-muodossa
Maple worksheet,mw-tiedosto
Matlab m-tiedosto
Matlab pdf-tiedosto
Avainsanat:MapleDiffint1, mplDifferentiaali1, Diffint1,max/min, ääriarvot,peruskurssi1, MatlabDiffint1, MathematicaDiffint1
-
mplDi014
mplDi011
Ohjelmat: Maple,Mathematica
Laske sen alueen pinta-ala, jota rajoittavat käyrät \(y^2 = x\) ja \(x - y = 3\).
Mieti, kumpi on helpompaa: integrointi x- vai y-suunnassa.
mplDi011.pdf (pdf-tiedosto),
mplDi011.mw (Maple ws)
...
Luokittelu:
mplteht/mplDiffint/mplDi011.tex, mmateht/mmaDiffint/mmaDi107.tex
Vaativuus: 1-3+
Tehtävän Latex-koodi:
../mplteht/mplDiffint1/mplDi011.tex
Ratkaisu:
pdf-muodossa
Maple worksheet,mw-tiedosto
(Mma-notebook)
Avainsanat: MapleDiffint1, mplDifferentiaali1,mplIntegraali1 Pinta-ala, integraali,diffintperusteet,peruskurssi1.
-
mplDi015
mplDi012
(Maple,Mathematica)
(Kurssi 2012 kevät H/H2T3.tex)
Määritä ellipsin \(9 x^2 + 16 y^2 = 144\) sisään piirretyn (akselien suuntaisen) suorakulmion maksimaalinen pinta-ala. Piirrä ellipsi ja suorakulmio.
Vaativuus: 2
Tehtävän Latex-koodi:
../mplteht/mplDiffint1/mplDi012.tex
Ratkaisu:
pdf-muodossa
Maple worksheet,mw-tiedosto
Avainsanat: MapleDiffint1, mplDifferentiaali1, ääriarvot, peruskurssi1,diffintperusteet Avainsanat:MapleDiffint1, mplDifferentiaali1,mplIntegraali1 add more ...
-
mplDi020
mplDi020
Tehtävä tai pari Lambertin funktiosta
Vaativuus: 1-3
Tehtävän Latex-koodi:
../mplteht/mplDiffint1/mplDixxx.tex
Ratkaisu:
../mplteht/mplDiffint1/ratkaisut/mplDixxxR.m
Avainsanat: Maplediffint1,mplDiffint1,...
Maplefunktioita: