Polynomit

Contents

Lyhyen oppaan polynomi-osa:

http://math.aalto.fi/~apiola/matlab/opas/lyhyt/polynomit.html

Polynomin esitys

Polynomi esitetään Matlab:ssa kertoimien vektorina korkeimman asteisesta alkaen. Jos jokin potenssi polynomista puuttuu, on vastaava kerroin luonollisesti = 0. Esim:

$$ p(x)=2x^4-x^2+5x -1 $$

Polynomin maaraa kerroinvektori [2,0,-1,5,-1] .

c = [2 0 -1 5 -1]

c =

     2     0    -1     5    -1

Polynomin arvo: polyval

polyval(c,1)  % Polynomin arvo pisteessä x=1

ans =

     5

polyval toimii myös vektorille x (tietysti, koska kyseessä on Matlab) Niinpä voidaan heti piirtää:

x=linspace(-2,2);
plot(x,polyval(c,x))
grid on

Polynomin nollakohdat, roots

r=roots(c)
% Kuten kuvastakin vaikuttuu, 2 reaalijuurta ja 2 kompleksi.

r =

  -1.5315 + 0.0000i
   0.6618 + 1.0641i
   0.6618 - 1.0641i
   0.2079 + 0.0000i

Esim: Ykkösen n:nnet juuret:

Ratkaistaan polynomiyhtälö $z^n -1 = 0.$

Katsotaan ensin 3. asteen (kuutiojuuren) tapaus

n=3
c=[1 0 0 -1]    % z^3 -1
juuret=roots(c)
plot(juuret,'*');
hold on
t=linspace(0,2*pi);
plot(exp(i*t))
axis equal

n =

     3


c =

     1     0     0    -1


juuret =

  -0.5000 + 0.8660i
  -0.5000 - 0.8660i
   1.0000 + 0.0000i

Yleinen tapaus (esim: n=10)

hold off
n=10   % Muuttele
c=[1 zeros(1,n-1) -1]
juuret=roots(c)
plot(juuret,'*r');
hold on
t=linspace(0,2*pi);
plot(exp(i*t))
axis equal;grid on
shg

n =

    10


c =

     1     0     0     0     0     0     0     0     0     0    -1


juuret =

  -1.0000 + 0.0000i
  -0.8090 + 0.5878i
  -0.8090 - 0.5878i
  -0.3090 + 0.9511i
  -0.3090 - 0.9511i
   0.3090 + 0.9511i
   0.3090 - 0.9511i
   1.0000 + 0.0000i
   0.8090 + 0.5878i
   0.8090 - 0.5878i


c=[1 zeros(1,n) -1]
juuret=roots(c)

c =

     1     0     0     0     0     0     0     0     0     0     0    -1


juuret =

  -0.9595 + 0.2817i
  -0.9595 - 0.2817i
  -0.6549 + 0.7557i
  -0.6549 - 0.7557i
  -0.1423 + 0.9898i
  -0.1423 - 0.9898i
   0.4154 + 0.9096i
   0.4154 - 0.9096i
   1.0000 + 0.0000i
   0.8413 + 0.5406i
   0.8413 - 0.5406i

Tarkistus

$$ w_k=e^{2\pi\, i\, k/n},k=0\ldots,n-1$$

plot(exp((0:n)*2*pi*i/n),'b--')


Published with MATLAB® R2013a