Heikki Apiola
Dept. of Math. Sci.
Aalto-yliopisto
heikki.apiola'at'aalto.fi
Juha Kuortti
Dept. of Math. Sci.
Aalto-yliopisto
juha.kuortti 'at' aalto.fi
|
Tehtäviä differentiaaliyhtälöistä
Tutki, ihmettele, ihastele, kehittele ...
Ja nyt se alkaa !!!
-
mplD0009.tex
Putoavan kappaleen nopeus $v=v(t)$ toteuttaa differentiaaliyhtälön
$mv'(t)=mg-kv(t)^2$, jos positiivinen suunta on alaspäin ja ilmanvastus on
verrannollinen nopeuden neliöön kertoimella $k>0$.
a) Ratkaise differentiaaliyhtälö alkuehdolla $v(0)=0$.
b) Mikä on rajanopeus $\lim_{t\to\infty}v(t)$?
Vihje: Ohjelma ei osaa laskea raja-arvoa, koska se ei tiedä vakioiden etumerkkiä.
Lisää käsky assume(m > 0 and k > 0 and g > 0)
ja kokeile uudelleen sen jälkeen.
Avainsanat: diffyhtälöt, putoava kappale, Picard-Lindelöf-menetelmä,mplDifferentiaali(yhtälöt)
Vaikeus 1
Tehtävän Latex-koodi
Ratkaisu:
pdf -
mw
-
mplD001.tex (infoverkostot (iv) s. 2001)
Ratkaise yhtälö
$$\frac{dy}{dt} = ty$$.
-
Muodosta yleinen ratkaisu.
-
Määritä vakio _C1 alkuehdolle $y(0)=1.$
-
Ratkaise alkuarvotehtävä suoraan dsolve:lla.
Vihje:
Maplen funktio dsolve.
b)-kohdassa voit ottaa ratkaisulausekkeen rhs (Righthand side) kiinni.
Tarvitset lisäksi komentoja subs ja solve
c) ?dsolve [HAM] ss. 162-165
Ratkaisu (**Tee ws ja pdf**!)
> dyht := diff(y(t), t) = t*y(t)
a)
> ylratk := dsolve(dyht, y(t))
b)
> Y := rhs(ylratk)
> solve(subs(t = 0, Y) = 1, _C1)
Huom! Dokumenttimoodissa alaviiva pudottaa kursorin alaindeksitasolle.
"copy/paste" tarvitaan _C1:lle.
> eval(%)
c)
> dsolve({dyht, y(0) = 1}, y(t))
Avainsanat: diffyhtälöt,mplDifferentiaali(yhtälöt),dsolve
Vaikeus 1
Tehtävän Latex-koodi
Ratkaisu:
pdf (ei) -
mw (ei)
-
mplD002.tex
Ratkaise differentiaaliyhtälö sijoittamalla ratkaisuehdotus (REh)
annettuun yhtälöön tai esim. integroimalla, arvaamalla tms.:
(a) $y'+y=x^2-2$, REh: $y=Ce^{-x}+x^2-2x$
(b) $y''+y=0$, REh: $y=a\cos x + b\sin x$
(c) $y'''=e^x$,
(d) $x+yy'=0$, REh: $x^2+y^2=C$ ($C > 0$, vakio).
Vihje
(d)-kohta: Derivoi implisiittisesti, ts. oleta, että on olemassa
derivoituva funktio $x\mapsto y(x)$ s.e. $x^2+y(x)=C$ ja derivoi puolittain.
(Tässä tapauksessa olemassaolo tiedetään, onhan $y(x)=\sqrt{C-x^2}$
tällainen. Tämän eksplisiittisen lausekkeen käyttö ei silti kannata,
se vain mutkistaa asioita, olkaamme siis implisiittisiä.)
Vaikeus 1
Tehtävän Latex-koodi
Ratkaisu:
pdf -
mw
Aputiedostoja,viitteitä
Avainsanat: diffyhtälöt, diffyhtalojohdatus, implisiittinen derivointi,diffyhtälön ratkaisuehdotuksen sijoittaminen yhtälöön.
-
mplD003.tex [Matlab-versio: ...mlD002.tex]
Millä xy-tason käyrillä on ominaisuus: Käyrän tangentin kulmakerroin
jokaisessa pisteessä $(x,y)$ on $-\frac{4 x}{y}$ ?
Ratkaise yhtälö muuttujien erottelulla (``separation of variables'').
Piirrä suuntakenttä isokliineja apuna käyttäen käsin vaikkapa alueessa
$[-2,2] \times [-2,2]$.
Ota sitten Maple avuksi.
Kokeile ja selitä!
Vihje
Kts. [HAM] ss. 169-170
> with(DEtools)
> with(plots)
Suuntakenttään:DEplot,
grafiikkojen yhdistämiseen: display.
Suoraparven saat tyyliin
> yparvi:=seq(...,c=[-2,-1,-.5,.5,2,1]) # tms.
> isokl:=plot([yparvi],x=...)
Yleisemmin isokliinit saadaan piirretyksi implicitplot-funktiolla, mutta tässä saatiin
ratkaistussa muodossa suoraan.
Vaikeus 2
Tehtävän Latex-koodi
Ratkaisu:
pdf -
mw
Aputiedostoja,viitteitä
Avainsanat:
MapleDy, diffyhtälöt, suuntakenttä, isokliinit, mplDifferentiaali(yhtälöt)
-
mplD009.tex
(iv3/2001, harj. 2, AV teht. 3)
Muodosta Picardin iteraatiojonon muutama termi (AA)-tehtäville
(a) $y' = x+y,\ \ y(0)=0 $
(b) $y' = x+y, \ \ y(0)=-1$
(c) $y'=y^2,\ \ y(0)=1$.
Määritä myös tarkka ratkaisu.
Vihje
LV-tehtävässä palataan asiaan Maple-hommana. Tämä on tyypillistä symbolilaskennan vahvuusaluetta.
Avainsanat: diffyhtälöt, ratkaisun (epä)olemassaolo, Picard-Lindelöf-menetelmä, Picardin iteraatio, mplDifferentiaali(yhtälöt)
Tehtävän Latex-koodi
Ratkaisu:
pdf(ei vielä) -
mw(ei vielä)
|