MattieT-tehtäväportaali


Yhteydenotot:

Heikki Apiola
Dept. of Math. Sci.
Aalto-yliopisto
heikki.apiola'at'aalto.fi

Juha Kuortti
Dept. of Math. Sci.
Aalto-yliopisto
juha.kuortti 'at' aalto.fi

MattieT:Maple-etusivu

Tehtäviä differentiaaliyhtälöistä

Tutki, ihmettele, ihastele, kehittele ...

Ja nyt se alkaa !!!


  1. mplD0009.tex
    Putoavan kappaleen nopeus $v=v(t)$ toteuttaa differentiaaliyhtälön $mv'(t)=mg-kv(t)^2$, jos positiivinen suunta on alaspäin ja ilmanvastus on verrannollinen nopeuden neliöön kertoimella $k>0$.
    a) Ratkaise differentiaaliyhtälö alkuehdolla $v(0)=0$.
    b) Mikä on rajanopeus $\lim_{t\to\infty}v(t)$?

    Vihje: Ohjelma ei osaa laskea raja-arvoa, koska se ei tiedä vakioiden etumerkkiä. Lisää käsky assume(m > 0 and k > 0 and g > 0) ja kokeile uudelleen sen jälkeen.

    Avainsanat: diffyhtälöt, putoava kappale, Picard-Lindelöf-menetelmä,mplDifferentiaali(yhtälöt)
    Vaikeus 1

    Tehtävän Latex-koodi
    Ratkaisu: pdf - mw


  2. mplD001.tex (infoverkostot (iv) s. 2001)

    Ratkaise yhtälö $$\frac{dy}{dt} = ty$$.

    1. Muodosta yleinen ratkaisu.
    2. Määritä vakio _C1 alkuehdolle $y(0)=1.$
    3. Ratkaise alkuarvotehtävä suoraan dsolve:lla.
    Vihje: Maplen funktio dsolve. b)-kohdassa voit ottaa ratkaisulausekkeen rhs (Righthand side) kiinni. Tarvitset lisäksi komentoja subs ja solve
    c) ?dsolve
    [HAM] ss. 162-165
    Ratkaisu (**Tee ws ja pdf**!)
     > dyht := diff(y(t), t) = t*y(t) 
     a)
     > ylratk := dsolve(dyht, y(t))   
     b)
     > Y := rhs(ylratk)
     > solve(subs(t = 0, Y) = 1, _C1)
     Huom! Dokumenttimoodissa alaviiva pudottaa kursorin alaindeksitasolle.
     "copy/paste" tarvitaan _C1:lle.
     > eval(%)
    c)
     > dsolve({dyht, y(0) = 1}, y(t))
    
    Avainsanat: diffyhtälöt,mplDifferentiaali(yhtälöt),dsolve
    Vaikeus 1

    Tehtävän Latex-koodi
    Ratkaisu: pdf (ei) - mw (ei)


  3. mplD002.tex

    Ratkaise differentiaaliyhtälö sijoittamalla ratkaisuehdotus (REh) annettuun yhtälöön tai esim. integroimalla, arvaamalla tms.:

    (a) $y'+y=x^2-2$, REh: $y=Ce^{-x}+x^2-2x$
    (b) $y''+y=0$, REh: $y=a\cos x + b\sin x$
    (c) $y'''=e^x$,
    (d) $x+yy'=0$, REh: $x^2+y^2=C$ ($C > 0$, vakio).

    Vihje
    (d)-kohta: Derivoi implisiittisesti, ts. oleta, että on olemassa derivoituva funktio $x\mapsto y(x)$ s.e. $x^2+y(x)=C$ ja derivoi puolittain. (Tässä tapauksessa olemassaolo tiedetään, onhan $y(x)=\sqrt{C-x^2}$ tällainen. Tämän eksplisiittisen lausekkeen käyttö ei silti kannata, se vain mutkistaa asioita, olkaamme siis implisiittisiä.)

    Vaikeus 1

    Tehtävän Latex-koodi
    Ratkaisu: pdf - mw
    Aputiedostoja,viitteitä

    Avainsanat: diffyhtälöt, diffyhtalojohdatus, implisiittinen derivointi,diffyhtälön ratkaisuehdotuksen sijoittaminen yhtälöön.


  4. mplD003.tex [Matlab-versio: ...mlD002.tex]

    Millä xy-tason käyrillä on ominaisuus: Käyrän tangentin kulmakerroin jokaisessa pisteessä $(x,y)$ on $-\frac{4 x}{y}$ ? Ratkaise yhtälö muuttujien erottelulla (``separation of variables''). Piirrä suuntakenttä isokliineja apuna käyttäen käsin vaikkapa alueessa $[-2,2] \times [-2,2]$.

    Ota sitten Maple avuksi. Kokeile ja selitä!

    Vihje Kts. [HAM] ss. 169-170

    > with(DEtools)
    > with(plots)
    
    Suuntakenttään:DEplot,
    grafiikkojen yhdistämiseen: display.
    Suoraparven saat tyyliin
    > yparvi:=seq(...,c=[-2,-1,-.5,.5,2,1]) # tms.
    > isokl:=plot([yparvi],x=...)
    
    Yleisemmin isokliinit saadaan piirretyksi implicitplot-funktiolla, mutta tässä saatiin ratkaistussa muodossa suoraan.

    Vaikeus 2

    Tehtävän Latex-koodi
    Ratkaisu: pdf - mw
    Aputiedostoja,viitteitä

    Avainsanat:
    MapleDy, diffyhtälöt, suuntakenttä, isokliinit, mplDifferentiaali(yhtälöt)


  5. mplD009.tex (iv3/2001, harj. 2, AV teht. 3)
    Muodosta Picardin iteraatiojonon muutama termi (AA)-tehtäville (a) $y' = x+y,\ \ y(0)=0 $
    (b) $y' = x+y, \ \ y(0)=-1$
    (c) $y'=y^2,\ \ y(0)=1$.

    Määritä myös tarkka ratkaisu.

    Vihje LV-tehtävässä palataan asiaan Maple-hommana. Tämä on tyypillistä symbolilaskennan vahvuusaluetta.

    Avainsanat: diffyhtälöt, ratkaisun (epä)olemassaolo, Picard-Lindelöf-menetelmä, Picardin iteraatio, mplDifferentiaali(yhtälöt)

    Tehtävän Latex-koodi

    Ratkaisu: pdf(ei vielä) - mw(ei vielä)